Gegeben ist folgendes:
((m1, n1) (m2,n2)) wird abgebildet auf (m1+m2, n1+n2) nennen
wir diese Abbildung mal "plus", dann ist das ausführlich
plus : (ℤxℤ) x (ℤxℤ) → (ℤxℤ)
[ Je zwei Paaren aus (ℤxℤ) wird ein drittes zugeordnet.)
mit plus ((m1, n1) ,(m2,n2)) = (m1+m2, n1+n2).
Dann heißt kommutativ: Für alle Paare gilt
plus ((m1, n1) ,(m2,n2)) = plus ((m2,n2),(m1, n1) )
Einsetzen der Definition gibt
(m1+m2, n1+n2) = ( m2+m1, n2+n1 )
und wegen der Kommutativität in (ℤ,+) stimmen sowohl die ersten
als auch die 2. Komponenten der Paare überein, also
sind die Paare gleich. q.e.d.
assoziativ geht entsprechend. Frage ggf. nach.