Addition ganze Zahlen Beweis assoziativ und kommutativ, abelsche Gruppe

Question

Gegeben ist folgendes:
((m1, n1) (m2,n2)) wird abgebildet auf (m1+m2, n1+n2)
Es muss nun gezeigt werden, dass
a) dies für die Menge der ganzen Zahlen kommutativ und assotiativ istb) dass dies für die Menge der ganzen Zahlen eine abelsche Gruppe mit dem Neutralelement (0,0) ist.

Answer 1

Gegeben ist folgendes:
((m1, n1) (m2,n2)) wird abgebildet auf (m1+m2, n1+n2) nennen

wir diese Abbildung mal "plus", dann ist das ausführlich

plus : (ℤxℤ) x   (ℤxℤ) →  (ℤxℤ) 
                  [ Je zwei Paaren aus (ℤxℤ) wird ein drittes zugeordnet.)

mit plus ((m1, n1) ,(m2,n2))  =   (m1+m2, n1+n2).

Dann heißt kommutativ: Für alle Paare gilt

               plus ((m1, n1) ,(m2,n2)) = plus ((m2,n2),(m1, n1) )

Einsetzen der Definition gibt

                   (m1+m2, n1+n2) =   ( m2+m1, n2+n1 )

und wegen der Kommutativität in (ℤ,+) stimmen sowohl die ersten

als auch die 2. Komponenten der Paare überein, also

sind die Paare gleich.  q.e.d.

assoziativ geht entsprechend. Frage ggf. nach.

Comments

Die Assoziativität habe ich inzwischen selbst nachgewiesen.

Bei der abelschen Gruppe muss doch nun gezeigt werden, dass (0,0) das Neutrale Eleme ist?

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Eigentlich auch noch Abgeschlossenheit ( aber das ist ja klar)

und jedenfalls auch: Zu jedem El. der Gruppe gibt es ein

Inverses. Das ist zu (m;n) dann ja wohl (-m;-n) und

wenn (m;n) ∈ ℤxℤ ist, ist (-m;-n) das ja auch.

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Wie geht das denn mit assoziativ?

Weil assoziativ heißt ja (a+b)+c=a+(b+c).

Und hier habe ich ja 4 Variablen.

Ist das dann (m1+m2+n1)+n2=m1+(m2+n1+n2)?

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Das wäre dann

plus ((m1, n1) , plus((m2,n2),(m3,n3))

= plus(  plus ((m1, n1) ,(m2,n2)) , ( m3,n3) )

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Was bedeutet dieses "plus" bei dir in den Zeilen? Also ich verstehe nicht, wieso du " = plus (plus...) geschrieben hast

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Lies mal die ersten 5 Zeilen meiner Antwort.