Bestimmen ob (ℤ5 \ {0}, ⋅) eine (Halb-)Gruppe und abelsch ist

Question

Wie kann ich das inverse in (ℤ₅ \ {0}, ⋅) bestimmen? Folgendes habe ich:

Halbgruppe:

∀a,b,c∈ℤ₅ \ {0} gilt:

- Abgeschlossenheit: (a*b)∈ℤ5 \ {0}

- Assoziativität:a*(b*c)=(a*b)*c, ∈ℤ5 \ {0}

Gruppe:

- Neutrales Element: ∃1∈ℤ5 \ {0}, ∀a∈ℤ5 \ {0} : a * 1 = 1 * a = a

- Inverses Element: ?

Abelsche Gruppe (Falls eine Gruppe ist):

∀a,b∈ℤ5 \ {0} gilt: a * b = b * a

Answer 1

Hallo,

die Elemente von \( (\mathbb{Z}_5 \setminus \{ 0 \}, \cdot) \) sind die Äquivalenzklassen \( 1, 2, 3, 4 \).

Es ist \( 4^{-1} = 4 \) und \( 2^{-1} = 3 \). Somit sind alle Elemente invertierbar.

Die Kommutativität "erbt" die Gruppe von der Kommutativität von \( \cdot \) in \( \mathbb{Z} \).

Grüße

Mister