Ist die Komposition ° abelsch?

Question

Aufgabe:

Wir untersuchen die Menge H aller linearen Abbildungen, die einen gleichseitigen Dreiecke auf sich selbst abbilden, d.h. Drehungen und Achsenspieglungen. Die Ecken des Dreiecks nummerieren wir mit \( 1, \ldots, 3 \) und mit \( \circ \) bezeichnen wir die Komposition von Abbildungen.

a) Bezeichnen Sie alle Selbstabbildungen mit einem Buchstaben und geben Sie sie als Permutation der Ecken an.

b) Ist die Komposition \( \circ \) abelsch?

c) Lösen Sie die Gleichung: $$ \left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{array}\right) \circ x=\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{array}\right) $$

Problem/Ansatz:

Kann mir einer bei dieser Aufgabe die c) mal erklären. Ich habe zwar auch eine Lösung, aber ich komme damit nicht klar. Es wäre schön die Teilschritte zu erfahren und wie ich das mache.

c) \( x=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2\end{array}\right)^{-1} \circ \left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1\end{array}\right) \)

Inverse suchen: \( \left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2\end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3\end{array}\right) \)

\( \Rightarrow \quad x=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2\end{array}\right) \)

Answer 1

In jeder Gruppe kann man die Gleichung

a * x = b   dadurch lösen, dass man sie von links

mit dem Inversen von a multipliziert

a^(-1) * (a * x) = a^(-1) * b

wegen der Assoziativität ist das

(a^(-1) * a )* x = a^(-1) * b

Def des Inversen liefert (a^(-1) * a ) = n

(neutrales El.)

also n * x =  a^(-1) * b

Def. des neutralen liefert also

        x =  a^(-1) * b.

In deinem Fall brauchst du also das Inverse von

1   2   3
3   1   2

Da diese Permutation die 1 auf 3 abbildet, muss

das Inverse es genau andersherum tun, also die

3 auf die 1 und die 1 auf die 2 und die 2 auf die 3

abbilden, ist somit

1   2   3
2   3   1

Diese nun multipliziert mit

1   2    3
3   2    1

liefert also das x.