Angeben ob (Halb-)Gruppe und abelsch?

Question

ich hab einige Schwierigkeiten die folgenden Aufgaben zu lösen, wäre super wenn mir jemand helfen könnte :)

Aufgabe:

(a) (N₀  , +)

Halbgruppe, weil a+b∈ N und (a+b)+c = a+(b+c) gilt

abelsche Gruppe, weil

a+0=0+a=a

und

a+(-a)=(-a)+a=0

gilt.

Stimmt das?

(b) (G, ·), wobei G = {−1, 1}

Hier hab ich im Prinzip das selbe raus wie oben, auch eine abelsche Gruppe
(c) (P(G), ∪), wobei P(G) ist die Potenzmenge einer beliebigen Menge G

(d) (P(G), ∩), wobei P(G) ist die Potenzmenge einer beliebigen Menge G

 Bei c und d weiß ich nicht wie ich die lösen soll. Ich denke mal dass die c) eine Halbgruppe ist ?
Zeigen Sie, dass die folgenden Strukturen keine Gruppen sind.
(a) (Z₂ [x]_x³ , ·)
(b) (Z₂[x]_x²₊₁, ·)

Hier würde ich die Multiplikationstabellen aufstellen und schauen ob das Neutrale Element überall vorhanden ist?

Comments

Für \( a \in \mathbb{N} = \mathbb{N}_0 \setminus \{ 0 \} \) ist \( -a \) nicht in \( \mathbb{N}_0 \).

Answer 1

Halbgruppe, weil a+b∈ N und (a+b)+c = a+(b+c) gilt

Das ist korrekt.

abelsche Gruppe, weil
a+0=0+a=a
und
a+(-a)=(-a)+a=0
gilt.

Sei a = 1 (dann ist offensichtlich a∈ℕ₀). Ist dann -a ∈ ℕ₀?

Falls nicht, dann ist ℕ₀ keine Gruppe, und schon gar nicht eine abelsche Gruppe.#

Bei c und d weiß ich nicht wie ich die lösen soll.

c)

Du solltest dir erst ein mal klar machen, was denn die Element von P(G) sind:

        P(G) = { ∅, {1}, {-1}, {1, -1} }.

Dann prüfst du die Axiome, an denen du interessiert bist:

        ∪ ist assoziativ, das sollte an anderer Stelle schon behandelt sein

Also handelt es sich zumindest um eine Halbgruppe

        ∪ ist kommutativ, das sollte an anderer Stelle schon behandelt sein

Wenn es sich um eine Gruppe handelt, dann ist sie abelsch.

Gibt es ein neutrales Element? Gibt es also ein m ∈ P(G), so dass m∪n = n für alle n ∈ P(G) ist? Das kannst du heruasfinden indem du folgende Verknüpfungsatabelle ausfüllst.

∪	∅	{1}	{-1}	{1, -1}
∅				{1, -1}
{1}		{1}
{-1}	{-1}
{1, -1}			{1, -1}

Aus der Tablle kannst du dann auch ablesen,. ob es zu jedem Element ein Inverses gibt.

Comments

Danke schonmal für deine Antwort.

Ich hab einfach N mit Z verwechselt :)

Dann ist (a) nur eine Halbgruppe

Ich verstehe nicht wie ich die Tabelle ausfüllen soll. Nach welchen mathematischen Regeln? Ich weiß welche Elemente in der Menge sind aber ich kann überhaupt nichts mit der Vereinigung in Bezug auf die Axiome anfangen..

Ich nehme jetzt an dass sich die Lehre Menge wie die 0 verhält

∪	∅	{1}	{-1}	{1, -1}
∅	∅	{1}	{-1}	{1, -1}
{1}	{1}	{1,}	{1,-1}	{1,-1}
{-1}	{-1}	{1,-1}	{-1}	{1,-1}
{1, -1}	{1, -1	{1,-1}	{1,-1}	{1,-1}

Denke aber es ist falsch, da ich nicht sehe was das neutrale Element ist.

Danke für deine Hilfe :)

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Denke das neutrale Element ist die Leere Menge, da aber nicht jedes Element ein inverses besitzt(oder sogar gar keins?) ist es keine Gruppe. Selbes bei der Aufgabe mit dem Schnitt. Stimmt das?

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dass sich die Lehre Menge wie die 0 verhält

Zunächst ein mal: deine Tabelle ist korrekt.

Außerdem verhält sich die leere Menge tatsächlich in gewisser Weise wie die 0. Nämlich wenn man die Vereinigung ∪ mit der Addition vergleicht. Und zwar ist die 0 neutral bezüglich der Addtion und die leere Menge neutral bezüglich der Vereinigung.

Wenn man allerdings die Vereinigung mit der Multiplikation vergleicht, dann verhält sich die leere Menge überhaupt nicht so wie die 0, sondern so wie die 1. Weil nämlich die 1 bezüglich der Multiplikation neutral ist.

da aber nicht jedes Element ein inverses besitzt ... ist es keine Gruppe.

Das ist korrekt. Und dafür hast du überhaupt nicht auf die Identifizierung von ∪ mit einer der aus der Schule bekannten Rechenarten zurückgreifen müssen, sondern alleine aus den Gruppenaxiomen heraus argumentiert. Das ist der richtige Weg.

... ist es keine Gruppe. Selbes bei der Aufgabe mit dem Schnitt.

Das stimmt. Und genau diese beiden Tatsachen führen dazu, dass Gleichungen wie

        {1,2,3} ∪ x =  {3,4,5} ∩ x

nicht allgemein lösbar sind, obwohl ∪ und ∩ mittels des Distributivgesetzes miteinander verbunden sind und

        a + x = b · x

lösbar ist, falls b nicht neutral bezüglich der Addition ist.

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Okay danke für deine Hilfe, ich denke ich habs verstanden, sodass ich die anderen beiden Aufgaben auch noch hinbekomme :)