Assoziativität im Kranzprodukt (Gruppentheorie)

Question

Hi zusammen,

ich möchte zeigen, dass das Kranzprodukt zweier Gruppen asoziativ ist - wie tu ich das?

1.1 Definition: Kranzprodukt

Sei \(\mathfrak{G}\) eine Gruppe und \(\mathfrak{H}\) eine (nicht notwendig transitive) Permutationsruppe auf der endlichen Ziffernmenge \(\Omega\). Unter dem Kranzprodukt \(\mathfrak{G}\wr \mathfrak{H}\) von \(\mathfrak{G}\) mit \(\mathfrak{H}\) versteht man die Menge

        \(\{(f, H)\, |\, H \in \mathfrak{H} , f \text{ Abbildung von } \Omega \text{ in } \mathfrak{G}\} \)

versehen mit der Multiplikation

        \(\left(f_1, H_1\right)\left(f_2, H_2\right) = \left(g, H_1 H_2\right)\)

mit \(g(i) = f_1(i)f_2\left(i^{H_1}\right)\) für \(i \in \Omega\).

1.2 Satz

Für alle \(i \in \Omega\) gilt:

1. Die Multiplikation ist assoziativ, da ...
   
2. Für \(f(i) = E\) ist \((f, E)\) das neutrale Element von \(\mathfrak{G}\wr \mathfrak{H}\).
   
3. Für \(g(i) = f(i^{H^-1})^{-1}\) ist \((g, H^-1)\) das Inverse von \((f, H)\).
   

Folglich ist \(\mathfrak{G}\wr \mathfrak{H}\) eine Gruppe.

Comments

Eigentlich brauche ich ja für die Asoziativität drei elemente:

A*(B*C)=(A*B)*C - hier habe ich ja nur eine Definition zwischen zwei Elementen... komme da nicht weiter...