Aufgabe:
(b) Es sei \( R>0 \). Untersuchen Sie die durch
\( g_{n}: \overline{B_{R}(0)} \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n} \mathrm{e}^{-x}, \quad n \in \mathbb{N} \)
auf \( \overline{B_{R}(0)} \subseteq \mathbb{R} \) gegebene Funktionenfolge \( \left(g_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) sowohl auf punktweise als auch auf gleichmäßige Konvergenz. Hinweis: Sie können \( \sup _{x \in \mathbb{R}}\left|g_{n}(x)-g(x)\right| \) für geeignetes \( g \) explizit berechnen.
Problem/Ansatz:
Vom Ansatz her, wissen wir bereits das punktweise und gleichmäßige Konvergenz vorliegen muss. Da die Gleichung nichts anderes als e^x*e^-x ist, was immer 1 ergibt. Das Problem ist das wir bisher keine formal richtige Beweisstruktur für die Aufgabe konstruieren können. Es wäre hilfreich wenn jemand so die ersten Schritte erklären könnten und die Umrisse der nachfolgenden Schritte darlegen könnte.
