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Aufgabe:

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Problem/Ansatz:

Ich brauche einen Ansatz.

Mein Grenzwert ist 0. Wie zeige ich allerdings gleichmäßige Konvergenz.

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Hallo :-)

(fn)nN(f_n)_{n\in \N} heißt gleichmäßig konvergent gegen ff (hier also f=0f=0), falls gilt:
ε>0 NεN nNε x[1,[ :  fn(x)f(x)<ε.\forall \varepsilon>0\ \exists N_{\varepsilon}\in \N \ \forall n\geq N_{\varepsilon}\ \forall x\in [1,\infty[:\ |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon.

Du kannst ja die Monotonie deiner Funktionsfolge ausnutzen, um damit eine obere Abschätzung zu finden. Das hilft dir dann nämlich, dein Index NεN_{\varepsilon} so zu wählen, sodass dieser unabhängig von der Wahl von x[1,[x\in [1,\infty[ ist.

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Es ist wegen x1x\geq 1sup(nx21+(nx2)20)=sup(nx21+(nx2)2)sup(nx2(nx2)2)=sup(1nx2)1n\sup(\left|\frac{nx^2}{1+(nx^2)^2}-0\right|)=\sup(\frac{nx^2}{1+(nx^2)^2})\leq\sup(\frac{nx^2}{(nx^2)^2})=\sup(\frac{1}{nx^2})\leq \frac{1}{n} auf [1,) [1,\infty)

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