Punktweise und gleichmäßige Konvergenz berechnen

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Ich brauche einen Ansatz.

Mein Grenzwert ist 0. Wie zeige ich allerdings gleichmäßige Konvergenz.

Answer 1

Hallo :-)

\((f_n)_{n\in \N}\) heißt gleichmäßig konvergent gegen \(f\) (hier also \(f=0\)), falls gilt:
$$\forall \varepsilon>0\ \exists N_{\varepsilon}\in \N \ \forall n\geq N_{\varepsilon}\ \forall x\in [1,\infty[:\ |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon.$$

Du kannst ja die Monotonie deiner Funktionsfolge ausnutzen, um damit eine obere Abschätzung zu finden. Das hilft dir dann nämlich, dein Index \(N_{\varepsilon}\) so zu wählen, sodass dieser unabhängig von der Wahl von \(x\in [1,\infty[\) ist.

Answer 2

Es ist wegen \(x\geq 1\)$$\sup(\left|\frac{nx^2}{1+(nx^2)^2}-0\right|)=\sup(\frac{nx^2}{1+(nx^2)^2})\leq\sup(\frac{nx^2}{(nx^2)^2})=\sup(\frac{1}{nx^2})\leq \frac{1}{n}$$ auf \( [1,\infty)\)