Gleichmäßige und Punktweise Konvergenz in Abhängigkeit von n

Question

Hallo Zusammen,

ich lerne gerade für meine Analysis Klausur.

Hierbei bin ich in einer Altklausur auf diese Aufgabe gestoßen:

$$f_{n}(x)=\frac{nx}{1+n^{2}x^{2}}, A=\left\{\frac{1}{2} , 1\right\}$$

Jetzt soll ich zeigen, dass die Funktion gleichmäßig konvergent ist.

An sich weiß ich was zu tun ist. Jedoch stört es mich, dass x von n abhängt. Wie werde ich das n los? Die Funktion konvergiert wohl punktweise gegen 0, ist das richtig?

Hat jemand einen Tipp? Beste Grüße:)

Comments

Zunächst wäre die Frage, ob es sich bei A tatsächlich um eine Menge mit 2 Punkten handelt oder doch eher ein Intervall?

Ich weiß auch nicht, was Du meinst mit "das n loswerden " n ist doch der Psrameter der gegen unendlich konvergiert?

Und x hängt nicht von n ab.

Ja, f_n konvergiert punktweise gegen die Null-Funktion

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Es gilt $$f:A -> \mathbb{R}$$

Ich habe bereits gezeigt, dass die Funktion punktweise gegen 0 konvergiert. Nun rechne ich weiter:

$$|f_{n}(x)-f(x)|=|\frac{nx}{1+n^{2}x^{2}}-0|=|\frac{nx}{1+n^{2}x^{2}}|=|\frac{x}{x^{2}}\frac{n}{\frac{1}{x^{2}}+n^{2}}|=|\frac{1}{x}*\frac{n}{\frac{1}{x^{2}}+n^{2}}|$$

Wie gehe ich nun vor? A kann ja nur gewisse Werte annehmen. Oder soll ich nach oben abschätzen?

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Zumal ich auch die Betragsstriche weglassen kann.

Answer 1

Du hast die Frage nach der Menge A noch nicht beantwortet. Ich gehe mal davon aus, dass für \(x \in A\) gitl \(x \geq 0.5\). Sei \(e>0\) gegeben, dann gilt für \(n >2/e\) und \(x \in A\):

$$|f_n(x)-0)|=\frac{nx}{1+n^2x^2}  \leq \frac{1}{nx} \leq \frac{2}{n}<e$$

Comments

Entschuldige, ich meinte A=[0.5, 1]. Also ist A der Definitionsbereich. Ich habe gar nicht gesehen, dass ich die falschen Klammern benutzt habe. Über deine Lösung werde ich mir nun Gedanken machen:)