Aufgabe zum beschränkten exponentiellen Wachstum?

Question

beschränktes exponentielles Wachstum

Problem/Ansatz:

Ein Verlag bringt eine neue Zeitung in einer Stadt auf den Markt. Der Verkauf der Zeitung soll als exponentielles Wachstum mit einer Sättigungsgrenze dargestellt werden. Die Stadt hat 4000 Haushalte. Nach einer Woche sind 1436 Zeitungen verkauft.

1. Gesucht ist die Funktionsgleichung für die Anzahl der verkauften Zeitschriften.

2. Wann haben 75 % der Haushalte die Zeitung erhalten?

Answer 1

Also soll man annehmen, dass irgendwann fast alle Haushalte die

Zeitung kaufen ?

Dann wäre ja S=4000 die Sättigungsgrenze.

Und es wäre der Anfangswert Bo = 0.

Mit \( B(t)= S - (S-B_o)e^{-kt} =  4000 - 4000e^{-kt}\)

Wenn t in Wochen genommen wird, wäre also B(1)=1436

==>  \( 1436 =  4000 - 4000e^{-k \cdot 1}\)

==>  \( -2564 =  - 4000e^{-k}\)

==>  \( 0,641 =  e^{-k}\)

==>  \( ln(0,641) =  -k\)

==>  \(   0,445 =  k\)  ==>  \(  B(t) = 4000 - 4000e^{-0,445t}\)

75% der Haushalte sind 3000, also

\(  3000 = 4000 - 4000e^{-0,445t}\)

\(  -1000 = - 4000e^{-0,445t}\)

\( 0,25 = e^{-0,445t}\)

\( ln(0,25) = -0,445t \)  ==>  \( -1,39 = -0,445t \) ==>  \( 3,1 = t \)

Also wäre das nach gut 3 Wochen erreicht.

Comments

Danke, dies war auch meine Lösung!

Answer 2

1.

f(x) = 4000 - 4000·((4000 - 1436)/4000)^x = 4000·(1 - 0.641^x)

2.

4000·(1 - 0.641^x) = 4000·0.75 --> x = 3.117 Wochen

Comments

3.117 Wochen

= 3 Wochen 19 Std. 39 min 21,6 sec :)

Der 3000. Käufer schlägt gegen 19:40 Uhr zu, kurz vor der Tageschau. :)