Wie ermittelt man punktweise/gleichmäßige Konvergenz?

Question

Aufgabe:

1)

I=[-1,1]

sn(x)=(x^n)/(2^n) , x aus I

2) I=[-2,2]

sn(x)=(x^n)/(2^n) , x aus I

Soll nun entscheiden ob diese jeweils punktweise/gleichmäßig konvergieren und gegen welche Funktion

Problem/Ansatz:

Für 1)

Für n gegen unendlich gilt, dass diese offensichtlich gegen 0 konvergiert.

sn(x) gegen unendlich : 0/(unendlich)

Konvergiert gleichmäßig, da nur dieser Grenzwert existiert.

Für 2)

Für i kleiner als 2 und größer als -2 gilt selbes wie aus 1)

Für 2 und -2 konvergiert diese gegen 1 für 2 und -2 für -2

Demnach konvergiert diese punktweise gegen oben genannte Werte

Ist dieser Lösungsansatz so korrekt, also auch was ich dort behaupte?

Wie löst man dies sauber und richtig?

Answer 1

bei 1 würde ich eher so argumentieren:

Sei x ∈ I, also insbesondere -1,2 < x < 1,2 .

Da s_n (x)=    x^n / 2^n = (x/2) ^n   gilt also

      | s_n (x)| < 0,6^n   und somit ist

die geometrische Folge mit q=0,6 eine

konvergente Majorante für | s_n (x) | . Also konvergiert

es für jedes x gegen 0.

So ähnlich hast du ja die punktweise Konvergenz bei 2

auch schon erledigt und es kann nicht gleichmäßig

sein, weil die Grenzfunktion nicht stetig ist. Bei

gleichmäßiger Konvergenz einer Folge stetiger Funktionen

müsste dies aber so sein.