Punktweise und gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die Folge der Funktionen \( f_{n}:[1,2] \rightarrow \mathbb{R} \), definiert durch
\( f_{n}(x)=\sqrt[n]{x} \)
auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz auf \( [1,2] \).

Hallo Leute, ich sitze mit meinem Übungspartner an dieser Aufgabe und wir kommen nicht auf ein einheitliches Ergebnis. Oder besser gesagt: wir kommen auf ,,kein" Ergebnis. Es wäre mega hilfreich, wenn jemand hierzu eine musterlösung schreiben könnte, da so eine Aufgabe vermutlich in der Klausur vorkommen könnte. Wir wären sehr dankbar^^

Comments

Wie sieht denn euer "kein Ergebnis" aus?

Gibt es vielleicht gegensätzliche Ansichten?

---

Ja, also wir sind zunächst davon ausgegangen, dass wir die folgefunktion auf R laufen lassen und haben dann 1 rausbekommen. Und weil 1 als grenzwert existiert, ist die folgefunktion punktweise konvergent. Danach dachten wir, dass wir x gegen 1 laufen lassen und gegen 2 und haben bei beiden auch als grenzwert 1 rausbekommen und da die Grenzwerte die gleichen sind, haben wir gesagt, dass es auch gleichmäßig konvergiert.

Wir haben aber das Gefühl, dass unsere Gedanken falsch sind.

Answer 1

Für punktweise Konvergenz ergibt sich
\(\begin{aligned} \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x^{\frac{1}{n}}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \exp \left(\frac{1}{n} \ln (x)\right)=\exp \left(\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \ln (x)\right)=\exp (0)=1\end{aligned} \)
Um die Funktionenfolge auf gleichmässige Konvergenz zu untersuchen, bestimmen wir
\(\begin{aligned} \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sup _{x \in[1,2]}\left|f_{n}(x)-1\right|=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(2^{\frac{1}{n}}-1\right)=0 .\end{aligned} \)
Das zeigt also die gleichmässige Konvergenz.

Comments

Alles klar, danke dir :)