Aloha :)
Die Abbildung \(f\) geht von den ganzen Zahlen \(\mathbb Z\) in alle ungeraden ganzen Zahlen \(2\mathbb Z+1\):$$f(n)=2n-3$$
1) Wir prüfen zunächst, ob die Funktion surjektiv ist.
Surjektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge \(2\mathbb Z+1\) mindestens 1-mal getroffen wird. Daher greifen wir uns eine beliebige ungerade ganze Zahl \(u\) heraus und prüfen, ob es \(n\) gibt, das auf \(u\) abbildet:$$u\stackrel!=f(n)=2n-3\implies 2n=u+3\implies n=\frac{u+3}{2}\in\mathbb Z\quad\checkmark$$Weil \(u\) ungerade ist, ist \((u+3)\) gerade, sodass \((u+3)/2\) eine ganze Zahl ist. Wir können also für jedes \(u\) ein passendes \(n\) angeben, das es trifft.
Die Funktion ist surjektiv.
2) Wir prüfen nun, ob die Funktion injektiv ist.
Injektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge \(2\mathbb Z+1\) höchstens 1-mal getroffen wird. Wir nehmen an, dass es zwei Werte \(a,b\in\mathbb Z\) gibt, die dasselbe Ziel treffen:$$f(a)=f(b)\implies 2a-3=2b-3\implies 2a=2b\implies a=b$$Das heißt im Umkehrschluss:$$a\ne b\implies f(a)\ne f(b)$$Also wird jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal getroffen.
Die Funktion ist injektiv.
