Konvergiert die Folge punktweise gegen eine Funktion f:[0,1] → ℝ?

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie die Funktionenfolge \( \left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) mit
\( f_{n}(x):=(1-x)^{n} x^{n}, x \in[0,1] . \)
a) Konvergiert die Folge punktweise gegen eine Funktion \( f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} \) ? Geben Sie in diesem Fall die Funktion \( f \) an.
b) Untersuchen Sie die Folge \( \left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) auf gleichmäßige Konvergenz auf \( [0,1] \).

Kann man so die gleichmäßige Konvergenz beweisen?

\( f(x) = \lim\limits_{n\to\infty} (1-x)^{n} x^{n} = 0, x \in[0,1]\)

|\(f_{n}(x)-f(x)| = (1-x)^n*x^n ≤ x^n \)

⇒ \(x^n\) ist eine Nullfolge, also ist \(f_{n}(x)\) gleichmäßig kovergent auf \( [0,1] \).

Answer 1

Hallo,

Dein Ansatz reicht insofern nicht, als Du die Differenz nicht unabhängig von x abschätzt. Grenzfunktion ist f(x):=0.

Ich benutze folgende Information:

$$\forall x \in [0,1]: \quad (1-x)x \leq 0.25$$

Damit

$$\forall x \in [0,1]:\quad |f_n(x)-f(x)|=(1-x)^nx^n \leq 0.25^n$$

Damit ist die Differenz unabhängig von x durch eine Nullfolge abgeschätzt. Also liegt gleichmäßige Konvergenz vor.

Gruß Mathhilf

PS: Ist das wirklich die Aufgabe oder was es eher \((1-x)x^n\)?

Comments

\(f_{n}(x):=(1-x)^{n} x^{n}, x \in[0,1]  \) Ist wirklich die Aufgabe. Vielen Dank für die Antwort :)