Konvergiert die Folge punktweise gegen eine Funktion f:[-2,2] → ℝ?

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie die Funktionenfolge \( \left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) mit
\( f_{n}(x):=\frac{1}{1+x^{2 n}}, x \in[-2,2] . \)
a) Konvergiert die Folge punktweise gegen eine Funktion \( f:[-2,2] \rightarrow \mathbb{R} \) ? Geben Sie in diesem Fall die Funktion \( f \) an.
b) Untersuchen Sie die Folge \( \left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) auf gleichmäßige Konvergenz auf \( [-2,2] \).

Answer 1

Da musst du ein paar Fälle unterscheiden:

x<-1 ==>   x^(2n) geht gegen ∞, also f_n(x) gegen 0.

x=-1 ==>  f_n(x)=  0,5 für alle n∈ℕ, also auch Grenzwert 0,5

-1<x≤0 ==>  x^(2n) geht gegen 0, also f_n(x) gegen 1.

Wegen der Symmetrie für x>0 entsprechend, also ist die

Grenzfunktion

            0 für 1 < |x| ≤ 2

f(x) =      0,5   für |x|=1

              1 für |x|<1

Die Grenzfunktion ist nicht stetig, die f_n aber schon alle, also

keine gleichmäßige Konvergenz.