Bestimmen Sie den punktweisen Limes f der f_{n}

Question

Betrachten Sie die Funktionen:

$$ f _ { n } : \mathbb { R } \rightarrow \mathbb { R } , f _ { n } ( x ) = \frac { n x } { 1 + n ^ { 2 } x ^ { 2 } } \quad \text { für } n \in \mathbb { N } $$

a) Bestimmen Sie den punktweisen Limes f der f_{n}.

b) Zeigen Sie, dass \( \left( f _ { n } \right) _ { n \in \mathbb { N } } \) auf [0, 1] nicht gleichmäßig gegen f konvergiert. (Fertigen Sie dazu Skizzen der f_{n} an.)

c) Zeigen Sie, dass \( \left( f _ { n } \right) _ { n \in \mathbb { N } } \) auf [a, 1] gleichmäßig gegen f konvergiert für jedes a ∈ (0, 1).

Answer 1

(1)  Für jedes feste  x ∈ ℝ  gilt
f_n(x) = (n·x) / (1 + n²·x²) = (x/n) / (1/n² + x²) → 0  für  n → ∞.
Somit konvergiert  f_n  auf  ℝ  punktweise gegen die Nullfunktion  f(x) = 0.

(2)  Sei  M = [0,1]  und  x = 1/n ∈ M. Wähle  ε ∈ ℝ  mit  0 < ε < 1/2. Dann gilt für alle  n
|f_n(x) - f(x)| = (n·(1/n)) / (1 + n²·(1/n²)) = 1/2 > ε.
Somit ist die Konvergenz auf  M  nicht gleichmäßig.

(3)  Sei  a ∈ (0,1)  und  J = [a,1]. Wähle  ε > 0. Für alle x ∈ J  und  alle  n > 1/(a·ε)  gilt
|f_n(x) - f(x)| = (n·x) / (1 + n²·x²) < (n·x) / (n²·x²) = 1/(n·x) < 1/(n·a) < ε.
Somit ist die Konvergenz auf  J  gleichmäßig.