a) Es sei \( \mathrm{f}_{\mathrm{n}} : \mathrm{R} \rightarrow \mathbb{R} : \chi \mapsto \frac{\mathrm{x}}{1+\mathrm{n} \cdot \mathrm{x}^{2}} \) für n ∈ ℕ. Untersuche \( (f_{n}) _{n \in ℕ} \) und \( (f`_{n}) _{n \in ℕ} \) auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz auf ℝ. Gilt \( \lim _{\mathfrak{n} \rightarrow \infty} \mathrm{f}_{\mathrm{n}}^{\prime}=\left(\lim _{\mathrm{n} \rightarrow \infty} \mathrm{f}_{\mathrm{n}}\right)^{\prime} \)?
b) Finde eine Folge von differenzierbaren Funktionen \( \mathrm{f}_{\mathrm{n}} : \mathbb{R} \rightarrow \mathrm{R} \), die gleichmäßig gegen eine differenzierbare Funktion \( \mathrm{f} : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) konvergiert, sodass aber die Folge der Ableitungen \( \mathrm{f}_{\mathrm{n}}^{\prime} : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) nicht mal punktweise konvergiert.
