Zeige, dass die Funktionenfolge f_{n} auf ℝ punktweise konvergiert und bestimme die Grenzfunktion f

Question

$$f_{n} : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto f_{n}(x) :=\frac{x^{2 n}}{1+x^{2 n}}$$

Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge f_{n} auf ℝ punktweise konvergiert und bestimmen Sie die Grenzfunktion f. Untersuchen Sie ferner, ob auf den Intervallen I = [0, 2] bzw. J = [2, ∞) die Konvergenz gleichmäßg ist.

Comments

hat jemand eine Lösung zu dieser Aufgabe? Würde mir sehr helfen

Answer 1

Punktweise Konvergenz:

Für \( |x| < 1 \) gilt:$$ \lim_{n\to\infty}f_n(x) = \lim_{n\to\infty} \frac{x^{2n}}{1+x^{2n}} = \frac{0}{1+0} = 0$$

Für \( |x| = 1\):$$ \lim_{n\to\infty}f_n(x) = \lim_{n\to\infty} \frac{x^{2n}}{1+x^{2n}} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$$

Und für \( |x|>1 \): $$ \lim_{n\to\infty}f_n(x) = \lim_{n\to\infty} \frac{x^{2n}}{1+x^{2n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\frac{1}{x^{2n}}+1}=\frac{1}{0+1} = 1$$

Also ist die Grenzfunktion:

$$ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, ~x\mapsto\begin{cases}0,&|x|<1\\\frac{1}{2},&|x|=1\\1,&|x|>1\end{cases}$$

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Zur gleichmäßigen Konvergenz:

Die \( f_n\) sind offenbar stetig, bei gleichmäßiger Konvergenz muss also auch die Grenzfunktion stetig sein.

\( f\) ist auf \( [0,2] \) nicht stetig, somit ist die Konvergenz dort auch nicht gleichmäßig.

Auf \( [2,\infty) \) ist die Grenzfunktion stetig, hier lohnt es sich also auf gleichmäßige Konvergenz prüfen. Mit der Monotonie der Funktionen und der Konvergenz, erhält man dann auch ziemlich schnell, dass glm. Konvergenz vorliegt.