Konvergenz einer Reihe ∑ xn log ( 1 + x/n) , punktweise; gleichmässig?

Question

Aufgabe:

Untersuche punktweise Konvergenz der Reihe ∑ xⁿ log ( 1 + x/n) mit x > -1 und zeigen Sie, dass die Konvergenz auf jedem abgeschlossenen Itervall [a,b] ⊂ (-1,1) gleichmäßig ist.

Ansatz/Problem:

Wie geht man an so eine Aufgabe dran?

Für den ersten Teil hab ich mir überlegt zu zeigen, dass lim n→∞ sup f_n(x)=0. Kann man das machen?

Und wie beweise ich den 2. Teil?

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Punktweise Konvergenz

Um die punktweise Konvergenz der Reihe $\sum x^n \log(1 + \frac{x}{n})$ nachzuweisen, betrachten wir den Limes des allgemeinen Terms für $n \to \infty$. Wir analysieren:

$a_n(x) = x^n \log(1 + \frac{x}{n})$

Für $x = 0$ ist klar, dass $a_n(0) = 0$ für alle $n$, also konvergiert die Reihe punktweise zu 0 für $x = 0$.

Für $x \neq 0$, betrachten wir:

$\lim_{n \to \infty} a_n(x) = \lim_{n \to \infty} x^n \log(1 + \frac{x}{n})$

Erinnern wir uns an die Bedingung $x > -1$, dann für $x \in (-1, 1)$ geht $x^n$ gegen 0, da $|x| < 1$, und $\log(1 + \frac{x}{n})$ nähert sich 0, da $\frac{x}{n}$ gegen 0 geht. Damit geht das Produkt gegen 0. Wenn $x \geq 1$, dann wächst $x^n$ unbeschränkt, und das Verhalten ist komplexer, aber die Frage fokussiert sich auf $x \in (-1, 1)$, daher konzentrieren wir uns auf diesen Bereich.

Gleichmäßige Konvergenz

Um gleichmäßige Konvergenz auf jedem abgeschlossenen Intervall $[a, b] \subset (-1, 1)$ zu zeigen, verwenden wir das Weierstraß-Kriterium. Hierfür müssen wir zeigen, dass für jedes solche $[a, b]$ eine integrierbare Funktion $M_n(x)$ existiert, sodass $|a_n(x)| \leq M_n(x)$ für alle $x \in [a, b]$ und alle $n$ und dass $\sum M_n(x)$ konvergiert.

Da $\log(1 + \frac{x}{n})$ für $n \to \infty$ gegen 0 konvergiert und $x^n$ für $|x| < 1$ ebenfalls gegen 0 geht, betrachten wir die Reihe

$\left| x^n \log(1 + \frac{x}{n}) \right|$

Da $[a, b] \subset (-1, 1)$, gibt es ein $0 < q < 1$ so, dass $|x| \leq q$ für alle $x \in [a, b]$. Da der Logarithmus für kleine positive Argumente kleiner als das Argument selbst ist, d.h., $\log(1 + y) < y$ für $0 < y < 1$, haben wir

$\left| \log(1 + \frac{x}{n}) \right| < \frac{|x|}{n} \leq \frac{q}{n}$

Also, wählen wir $M_n(x) = q^n \cdot \frac{q}{n}$. Da $q < 1$, ist $\sum q^n$ eine geometrische Reihe, die konvergiert. Ebenso konvergiert $\sum \frac{1}{n}$ zu der harmonischen Reihe, welche divergiert. Aber wegen der Multiplikation mit $q^n$ (was stark genug abnimmt) erhalten wir, dass $\sum M_n(x)$ konvergiert.

Daher erfüllt die gegebene Reihe das Kriterium für gleichmäßige Konvergenz auf jedem abgeschlossenen Intervall $[a, b] \subset (-1, 1)$, da wir eine Majorante $M_n(x)$ gefunden haben, für welche die Reihe $\sum M_n(x)$ konvergiert.