Bestimmen Sie den punktweisen Grenzwert von (f_{n})_{n ∈ ℕ}

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie die Funktionenfolge

\( f_{n}:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, \quad f_{n}(x)=\frac{1}{\ln \left(x+\sqrt{n x^{2}+1}\right)}, \quad n \in \mathbb{N} \)

a) Bestimmen Sie den punktweisen Grenzwert von \( \left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \)

b) Konvergiert \( \left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) auf \( (0, \infty) \) gleichmäßig?

c) Konvergiert \( \left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) auf \( [1, \infty) \) gleichmäsig?

Problem/Ansatz:

Ich vermute, dass diese Funktionenfolge gegen 0 konvergiert, jedoch weiß ich keinen Weg dies zu beweisen.

Answer 1

Ich vermute, dass diese Funktionenfolge gegen 0 konvergiert, jedoch weiß ich keinen Weg dies zu beweisen.

Da x>0 vorgegeben ist, ist auch x^2 > 0 .

Damit geht n*x^2 gegen unendlich und somit auch

das Argument von ln gegen unendlich und damit

auch der gesamte Nenner gegen unendlich, also die f_n(x)

insgesamt gegen 0.

Comments

Vielen Dank!

Answer 2

1) Der Punktweise Grenzwert ist die 0 Funktion. Um das zu zeigen, könnte man entweder mit der Monotonie des ln argumentieren oder wenn man das etwas ausführlicher machen möchte, einen Epsilon- Beweis führen:

Wähle ε > 0 beliebig und x aus dem Definitionsbereich beliebig, finde nun ein N∈ℕ :Für alle n>N: |f_n(x)|< ε.

Für die Abschätzung könnte man |f(x)|< |( \frac{1}{ln(\sqrt{nx² +1})} \) verwenden (da die Wurzel durch das +1 immer größer 1 ist, ist der ln auch positiv).

Wähle N nun größer als, exp(\( \frac{1}{ε} \) )² / x² und schätze den Term nach oben ab, indem du das +1 in der Wurzel im ln weglässt. Umschreiben sollte dann die gewünschte Abschätzung liefern.

2) Nein, angenommen fn würde gleichmäßig auf (0, ∞) konvergieren, so wählt man die folge x= \( \sqrt{1/n} \) und |f_n(x_n)|> 1/ln(2). Was ein Wiederspruch ist, da fn punktweise gegen die 0 Funktion konvergiert, dh. falls sie gleichmäßig gegen ein f konvergieren sollte, so muss sie gegen die 0 Funktion konvergieren.

3) Ja auf [1, ∞) konvergiert fn gleichmäßig gegen f=0. Hierfür prüfe das ganze mit der Definition für gleichmäßige Konvergenz nach. Wähle ε>0 beliebig, finde ein N∈ℕ, sodass für alle x∈ [1, ∞) gilt : |f_n(x)| < ε. Die letzte Abschätzung sollte so ähnlich wie die aus 1) gehen, beachte, dass die Wurzelfunktion monoton steigt, dh. du kannst das x² aus der Wurzel weglassen (da x ≥ 1) und dann wähle dein N größer als exp(1/ε)² , dann müsste das so klappen.

Sorry wenn ich bei den Abschätzungen ein paar Fehler reingemacht habe (aber vom Prinzip her sollte das so klappen). Bei Fragen etc. kannst du dich ja gerne nochmal melden!

Comments

Die Schwierigkeit besteht bei solchen aufgaben, sich entweder (wie bei 1 und 3) das passende N zu basteln, sodass die Definitionen für gleichmäßige und punktweise Konvergenz gilt oder (wie bei 2) sich einen Folge a_n im Definitionsbereich zu basteln, um zu zeigen, dass die Funktion nicht gegen die gewünschte Grenzfunktion konvergiert. Für diese Konstruktionen baut man dann immer irgendwo das gewünschte ε ein und verknüpft dieses mit anderen Funktionen (hier zB. x²  , exp- Funktion etc.) um den Term |f_n (x)| nach belieben zu vereinfachen um ihn dann nach oben oder nach unten (je nachdem was man braucht) abzuschätzen.