Zeigen Sie, dass die Gleichung \Phi(x, t, u)=0 in einer Umgebung von (x_{0}, 0, {e}^{x_{0}}) differenzierbar nach u …

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Es sei \( x_{0} \in \mathbb{R} \) und wir setzen \( \Phi(x, t, u)=\mathrm{e}^{x-t u}-u \) für \( x, t, u \in \mathbb{R} \).

Text erkannt:

Zeigen Sie, dass die Gleichung \( \Phi(x, t, u)=0 \) in einer Umgebung von \( \left(x_{0}, 0, \mathrm{e}^{x_{0}}\right) \) differenzierbar nach \( u \) auflösbar ist, es also eine offene Umgebung \( V \) von \( (x, t) \) und eine eindeutig bestimmte differenzierbare Funktion \( u: V \rightarrow \mathbb{R} \) gibt mit \( \Phi(x, t, u(x, t))=0 \) für \( (x, t) \in V \).

Problem/Ansatz:

Wir müssen zeigen, dass die Gleichung Φ(x, t, u) = 0 in einer Umgebung von (x0, 0, e^x0) differenzierbar nach u auflösbar ist und  die partielle Ableitung ∂Φ/∂u betrachten und zeigen, dass sie in einer geeigneten Umgebung existiert. Die partielle Ableitung ∂Φ/∂u = -te^(x-tu) - 1 ist eine stetige Funktion in V. Da die partielle Ableitung ∂Φ/∂u in der Umgebung V = U × T von (x0, 0, e^x0) stetig ist, erfüllt sie die Voraussetzungen, um die Existenz und Eindeutigkeit einer differenzierbaren Funktion u: V → R zu gewährleisten, die die Gleichung Φ(x, t, u(x, t)) = 0 erfüllt ? Wir sind uns bei allem unsicher und wir wissen nicht mehr weiter

Comments

Müsste ∂Φ/∂u hier nicht gleich -e^(x-tu) sein?

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oh hab mich vertan nvm...

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Okay, also ihr müsst hier den Satz über implizite Funktionen anwenden;

Die Gleichung ist nämlich dann nach z.B. u auflösbar, wenn die Matrix ∂(F_1, ..., F_m)/∂(y_1, ..., y_m)(x_0, 0, e^(x_0)) invertierbar ist. Denn dann, so verrät es uns der Satz, gibt es Umgebungen U_0 ⊆ ℝ^n von x_0 und V_0 ⊆ ℝ^m von y_0 und eine stetig differenzierbare Funktion g:U_0 → V_0, sodass F(x, y) = 0 ⇔ y = g(x) ∀x∈U_o, y∈V_0. In diesem Beispiel entspricht dann g(x) der stetig differenzierbaren Funktion u(x, t).

Sehr auflussreich ist dieses Video zum Thema: