Differenz zweier Quadratzahlen durch 4

Question

Aufgabe:

Teilt man die Differenz von zwei Quadratzahlen durch 4 mit Rest, dann ergibt sich nie der Rest 2.

Ich soll diese Aussage mit einem indirekten Beweis oder Widerspruchsbeweis zeigen

Problem/Ansatz:

Annahme: a^2-b^2 lässt bei Division durch 4 den Rest 2

Es gibt also eine gerade Zahl n mit a^2-b^2=(a+b)(a-b)= 4n+2

Da 4n+2 durch 2 teilbar ist muss auch a+b durch 2 teilbar sein, außerdem ist a-b=a+b-2b durch 2 teilbar

Also stimmt die Aussage nicht

Kann man den Beweis so lassen?

Answer 1

Hallo

wie schließest du denn jetzt auf "Also stimmt die Aussage nicht" Das musst du noch ausführen! Aber bis dahin ist es ok.

Gruß lul

Comments

Wie führe ich das weiter aus?

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Aber bis dahin ist es ok.

Ist es nicht.

Da 4n+2 durch 2 teilbar ist muss auch a+b durch 2 teilbar sein

Richtig ist: Da 4n+2 durch 2 teilbar ist muss a+b oder a-b durch 2 teilbar sein.

Dass dann auch der jeweils andere Faktor durch 2 teilbar ist wurde nur für die Annahme "a+b ist durch 2 teilbar" nachgewiesen.

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Wenn a+b oder a-b durch zwei tb, dann sind a und b beide gerade oder beide ungerade. A lso ist das Produkt durch vier tb,Widerspruch zu Rest 2

Answer 2

Eine Quadratzahl ist \(\equiv 0\) mod \(4\) oder \(\equiv 1\) mod \(4\),

als Differenzen sind also nur \(0-0=0,\; 1-0=1,\; 0-1=3,\; 1-1=0\) mod \(4\) möglich,

aber nicht \(2\) mod \(4\).

Answer 3

Es gibt also eine gerade Zahl n mit a²-b²=(a+b)(a-b)= 4n+2

Nein.

Aus der Annahme lässt sich lediglich schlussfolgern, dass es eine natürliche Zahl n mit a²-b² = 4n+2 gibt.

Da 4n+2 durch 2 teilbar ist muss auch a+b durch 2 teilbar sein

Begründung fehlt.

außerdem ist a-b=a+b-2b durch 2 teilbar

Hier ist eine Begründung da. Gut!

Also stimmt die Aussage nicht

Begründung fehlt.