Kern und Bild von f bestimmen

Question

Aufgabe:

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Aufgabe 3 (8 Punkte).
(i) Betrachten Sie die lineare Abbildung \( f: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) mit
\( f(x, y, z, w):=(2 x+y+3 w, x+z-w) . \)
(a) Bestimmen Sie \( \operatorname{Ker}(f) \).
(b) Bestimmen Sie \( \operatorname{dim}(\operatorname{Im}(f)) \).

Problem/Ansatz:

Ich würde so vorgehen: zunächst die ii) dim(Im(f) ist 2 wegen R⁴ -> R². Dann Dimensionsformel.

Also Ker(f) + 2 = 4(da Dim(R⁴)=4), also Ker(f)=2. Ist das wirklich so einfach oder verstehe ich was falsch?

Answer 1

Aloha :)

Den Kern der Abbildung$$f(x,y,z,w)=\left(\begin{array}{rrrr}2 & \pink1 & 0 & 3\\1 & 0 & \pink1 & -1\end{array}\right)\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}$$kannst du ohne Rechnung aus der Koeffizientenmatrix ablesen, da diese bereits zwei Spalten enthält, die aus lauter Nullen und genau einer (pinken) Eins bestehen:$$2x+\pink y+3w=0\quad\implies\quad\pink y=-2x-3w$$$$x+\pink z-w=0\;\;\;\;\quad\implies\quad \pink z=-x+w$$Damit können wir alle Vektoren des Kerns angeben:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\-2x-3w\\-x+w\\w\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}1\\-2\\-1\\0\end{pmatrix}+w\begin{pmatrix}0\\-3\\1\\1\end{pmatrix}$$Die Vektoren des Kerns liegen also in einem Untervektorraum der Dimension 2 mit den beiden angegeben möglichen Basisvektoren.

Die Dimension des Bildes ist daher \(4-2=2\).

Comments

Danke. Das macht Sinn. Wäre meine Argumentation trotzdem korrekt oder kann man das nicht so argumentieren? Also kann ich das Bild einfach so aus dem R² ablesen?

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Nein, kann man nicht. dim(im(f)) könnte auch 0 oder 1 sein.

Beachte aber, dass dim(im(f)) der Rang der Matrix ist (die lin. Abb. f als Matrix dargestellt, s.o.), also die Dimension des Spaltenraums. Hat man das gemacht, kann man sofort sehen, dass dim(im(f))=2 ist, weil die beiden Einheitsvektoren ja als Spalten auftreten.

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Ah verstehe, vielen Dank.