Kern Bild mit Vektoren.

Question

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Aufgabe 7 (5 Punkte)
Für \( \alpha, \gamma \in \mathbb{R} \) seien \( v_{\alpha}:=\left(\begin{array}{c}4 \\ 5 \alpha \\ \alpha \\ 2\end{array}\right), b_{\gamma}:=\left(\begin{array}{l}5 \\ \gamma \\ 7\end{array}\right), A:=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & -2 \\ -2 & 2 & 0 & 10 \\ -1 & 2 & 0 & 8\end{array}\right) \) und \( f: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{3}: x \mapsto A x \).
(a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge \( \mathcal{L} \) des homogenen linearen Gleichungssystems \( A x=0 \) :
\( \mathcal{L}=\quad \mathrm{L}\left(\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)\right) \)
(b) Bestimmen Sie alle \( \alpha \in \mathbb{R} \) so, dass \( v_{\alpha} \notin \operatorname{Kern}(f) \) :
\( \alpha \in \mathbb{R} \backslash\left\{-\frac{6}{5}\right\} \)
(c) Bestimmen Sie alle \( \gamma \in \mathbb{R} \) so, dass \( b_{\gamma} \in \operatorname{Bild}(f) \) :
\( \gamma=2 \)

Hallo Zusammen, ich verstehe die b) und c) nicht. Das Thema ist neu und ich weiß nicht wie man vorzugehen hat.

Answer 1

Zu b)

Bestimme α so dass:

\(\small A \; \left(\begin{array}{r}4\\5 \; \alpha\\\alpha\\2\\\end{array}\right) = \vec{0}\)

zu c)

Bringe

\(\small Ab \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrrr}1&0&0&-2&5\\-2&2&0&10&\gamma\\-1&2&0&8&7\\\end{array}\right)\)

auf Zeilenstufenform und wähle γ so dass das LGS lösbar ist...

Comments

Bei der Zeilenstufenform geht man nur soweit bis nur bei der 1. Spalte Zeile 2 und 3 zu 0 wird. Wieso? Also Chatgpt hat es so gelöst.

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Die 3. Spalte war und ist 0

\(\small \left(\begin{array}{rrrrr}1&0&0&-2&5\\0&1&0&3&\frac{1}{2} \; \gamma + 5\\0&0&0&0&-\gamma + 2\\\end{array}\right)\)

Das Interesse git der 3.Zeile - muss eine 0-Zeile sein damit 0=0 ==> γ=2

und die 3. und 4. Spalte ergeben die freien Variablen. Ergänze die vorletzte Frage mit

\(\scriptsize\red{\left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&-2\\-2&2&0&10\\-1&2&0&8\\ \end{array}\right)\cdot \left\{\left(\begin{array}{r}5\\6\\0\\0\\ \end{array}\right)+ \left(\begin{array}{r}0\\0\\-t_1\\0\\ \end{array}\right)+ \left(\begin{array}{r}-2 \; t_2\\3 \; t_2\\0\\-t_2\\ \end{array}\right)\right\}=\left(\begin{array}{r}5\\2\\7\\ \end{array}\right)}\)