Wie berechnet man das Bild und den Kern einer Matrix A=((1,0,0),(1,1,0),(0,0,0))?

Question

Sei f : R3 → R3 gegeben durch f(v ) = A · v mit A =
1 1 0
0 1 0
0 0 0.

(a) Geben Sie das Bild Im(f) und den Kern Ker(f) von f explizit an.
(b) Zeigen Sie, dass es fur jeden beliebigen Vektor w ∈ R3 zwei Vektoren u ∈ Im(f) und v ∈ Ker(f) gibt, so dass
w = u +v .

Answer 1

Zu b)

Für beliebigen Vektor \(w=(x,y,z)^T\) gilt mit

\(u=f((x-y,y,0)^T)\in Im(f)\) und \(v=(0,0,z)^T\in Ker(f)\)

\(w=u+v\).

Answer 2

Hallo

einfach für Kern  A*x=0 rechnen (x Vektor )

Für Bild A*x bestimmen  z.B indem du die Standardbasis für x einsetzt.

Was hindert dich ?

lul

Comments

Ich hatte bei Aufgabe (b) einen Denkfehler, sodass ich meine gesamten Rechenwege angezweifelt habe. Habe aber mittlerweile herausgefunden, dass bei (b) w = u+v vereinfacht einfach nur w=u herauskommt.

Ich dache vorher, das kann nicht stimmen, weil w aus dem 3 dimensionalen Raum und u aus einem 2 dimensionalen VR stammt, aber w wird ja so gewählt, dass die Gleichung stimmt und nicht die Gleichung muss für alle w aus R3 stimmen. (oder? :D)

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u und w stammen aus R^3 du kannst w nicht wählen da steht doch " fur jeden beliebigen Vektor w ∈ R^3"

nein du musst schon (x,y,z) aus u und w zusammenkombinieren.

wie sie denn dein Kern und Bild aus?