Berechne eine Basis von Kern(f) und Bild(f)

Question

Aufgabe: Berechne eine Basis von Kern(f) und Bild(f)

Gegeben ist:
f : M₂₂(R) -> R[T]
f(\( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) ) = (a+b)+(a+b)T+(a+b+c+d)T²

Problem/Ansatz:

Basis von Kern(f):
f(a, b, c, d) = 0
(a+b)+(a+b)T+(a+b+c+d)T² = 0
I: a+b = 0
II: a+b+c+d = 0
I: a = -b
II: c = -2b-d
Das bedeutet doch, dass jeder Vektor im Kern von f die Form \( \begin{pmatrix} -b\\b\\-2b-d\\d \end{pmatrix} \)
Somit wäre doch die Basis von Kern(f) = {\( \begin{pmatrix} -1\\1\\-2\\0 \end{pmatrix} \); \( \begin{pmatrix} 0\\0\\-1\\1 \end{pmatrix} \) }

Basis von Bild(f):
Ich weiss nicht, wie ich den Rechenweg angehen soll, aber ich denke, dass die Basis B = {1+T, T^2} eine Basis sein könnte. Ich kann das Polynom wie folgt darstellen: x+xT +yT^2, welches wiederum mit der gefundenen Basis B zusammengebaut werden kann.

Frage:
1. Ist meine Basis von Kern(f) richtig und der Weg dorthin nachvollziehbar?
2. Ist meine Basis von Bild(f) richtig und wie hätte ich diese durch einen geeigneten Rechenweg gefunden?

Comments

Mach mal die Probe: Setze den 1. Kern-Bssis-Vektor in die Vleichungen I und II ein

Answer 1

II: c = -2b-d

stimmt nicht. Das gibt c=-d.

Wegen dim(Kern)=2 und dim(M₂₂(R) ) = 4

ist dim(Bild)=2. Also ist jedes Erzeugendensystem

mit 2 Elementen eine Basis .

(a+b)+(a+b)T+(a+b+c+d)T² =(a+b)*(1+T+T^2) + (c+d)*T^2

also wäre 1+T+T^2, T^2 jedenfalls eine, aber auch

1+T, T^2