Chinesischer Restsatz und 99 aufeinanderfolgende ganze Zahlen

Question

Aufgabe:

"Beweisen Sie unter Verwendung des Chinesischen Restsatzes, dass 99 aufeinanderfolgende ganze Zahlen existieren, sodass jede dieser Zahlen durch die dritte Potenz einer natürlichen Zahl größer als 1 teilbar ist."

Problem/Ansatz:

Kann jemand erklären, wie diese Aufgabe zu lösen ist? Fand die Vorlesung unverständlich

Answer 1

Deine Aufgabe lässt sich wie folgt formulieren: Es existieren \( x\) und \( n _{ 1} , \ldots , n_{ 99}> 1\), sodass das folgende Gleichungssystem erfüllt ist:
\(\begin{aligned}   x &\equiv_{n _{ 1} ^{ 3}}0   \\   x+1 &\equiv_{n _{ 2} ^{ 3}} 0   \\   &\;\;\vdots   \\   x + 98 &\equiv_{n_{ 99} ^{ 3}} 0\end{aligned} \)
Wenn es also \( n _{ 1} , \ldots , n_{  99} >1\)  gibt, sodass deren dritte Potenzen paarweise relativ prim sind, könntest du den chinesischen Restsatz anwenden, der dir eine Lösung \( x\)
garantiert. Diese existieren nun tatsächlich, setze zum Beispiel \( n _{ k} \) gleich die \( k\)te Primzahl, die grösser als \( 1\) ist.