Wie zeigt man, dass diese Abbildung wohldefiniert ist? (chinesischer Restsatz)

Question

Aufgabe:

Nach dem chinesischen Restsatz ist $$\mathbb{Z}/12\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \oplus\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$$ mit der Abbildungsvorschrift: $$\mathbb{Z}/12\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}, x \operatorname{mod} 12\mapsto(x \operatorname{mod}3,x \operatorname{mod}4)$$

Wie zeigt man, dass diese Abbildung wohldefiniert ist? Ich habe mir das mit Beispielen angeguckt, verstehe aber nicht wie man es allgemein begründen kann.

Answer 1

Es gilt \(x\equiv y \) mod \(12 \; \Rightarrow \exists z\in \mathbb{Z}\) mit

\(x-y=12z=3(4z)=4(3z)\), also \(x\equiv y\) mod \(3\) und

\(x\equiv y\) mod \(4\).