Menge 2Z/16Z bezgl. Multiplikation eine kommutative Gruppe

Question

Eine kurze Frage wie man 2Z/16Z zu interpretieren hat. Die Menge wird wie folgt definiert:

2Z/16Z = {a element Z/16Z | a = [2z] für z element Z}

Ich verstehe nicht ganz welche Elemente nun in der Menge liegen. Z/16Z ist der Restklassenkörper modulo 16 also sind 0-15 Elemente von Z/16Z. Doch welche Elemente sind nun in 2Z/16Z?

Da a = [2z] ist, dachte ich mir, ich setze für z die zahlen 0-7 ein und erhalte viele Äquivalenzklassen:

a=[0] = 0
a=[2] = 1,2,3,5,6,7,9,10,11,13,14, 15
a=[4] = 4, 12...
a=[8]= 8, ....

somit sind doch alle Elemente die in Z/16Z sind auch in 2Z/16Z oder?

Comments

Ok, und wenn ich jetzt zeigen will, dass diese Menge bezüglich Multiplikation a # b = a * b + a + b eine kommutative Gruppe ist, muss ich zeigen, dass Assoziativität, ein Neutrales Element und Inverse gibt.

Wäre das dann für Assoziativität wie folgt:

a # b # c = a * b * c + a + b + c

(a # b) # c = a # (b # c)

also:

(a * b) * c + a + b + c = a * (b * c) + a + b + c

Assoziativität ist somit offensichtlich gegeben, da Punkt vor Strich. Reicht das als Beweis?

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Nein, es ist:
(a#b)#c=(a#b)*c+(a#b)+c=a*b*c+a*c+b*c+a*b+a+b+c.

a#b#c kann man erst dann schreiben wenn man weiß, dass # assoziativ ist, d.h. das die Klammern überflüssig sind.

Und als genereller Tipp:
Assoziativität ist, falls sie nicht von vornherein einem irgendwie geschenkt wird, fast immer das nervigste zu zeigen. Von daher ist es sinnvoll erst du anderen Axiome auf Richtigkeit zu überprüfen.

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Danke für die Tipps, ich habe es jetzt so:

Also wir nehmen an:

(a # b) # c = a # (b # c)

Linke Seite:
(a # b) # c

= (a#b) * c + (a#b) + c
=(a*b + a + b) * c  +  (a*b + a + b) + c
=a*b*c + a*c + b*c   +  a*b + a + b + c

Rechte Seite:
a # (b # c)

=a *(b#c) + (b#c) + a
=a*(b*c + b + c)  +(b*c + b + c) +a
=a*b*c + a*b + a*c + b*c + b + c + a

Beide Seiten sind identisch, somit ist Assoziativität gezeigt. Ist das korrekt?

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Ja. (Fülltext um nötige Zeichenanzahl zu erreichen)

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Wenn ich nun das neutrale Element nachweisen will, muss ja folgendes gelten:

a # e = a = e # a  für e = neutrale Element und ∀a ∈ 2Z/16Z

Da wir das bezüglich Multiplikation zeigen sollen, müsste doch folgendes gelten:

a # e = a * e + a + (b oder e bin mir nicht sicher, da wir ja nur multiplikation betrachten)

aber das ist ja nicht das Gleiche wie a, da ja a und e noch dazu addiert werden.

Oder darf ich nur die Multiplikation betrachten?

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"a # e = a = e # a  für e = neutrale Element und ∀a ∈ 2Z/16Z "
Genau das.


"a # e = a * e + a + (b oder e bin mir nicht sicher, da wir ja nur multiplikation betrachten)"
e. in a#e kommt kein b vor. Was sollte also das b rechts sein?

Rechne mal ein paar konkrete werte aus, wie z.B. 0#0,2#2,2#0 usw. ([] aus Faulheit weggelassen), das sollte eine Verdacht für e geben, den es dann zu beweisen gibt.

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Achso, ja natürlich :)

z.z.: a # e = a * e + a + e = a

e = [0]

[a] * [0] + [a] + [0]

offensichtlich bleibt a stehen für alle a ∈ 2Z/16Z. Somit ist [0] das Neutrale Element.

Zudem ist e eindeutig, da e₂  = e₁  # e₂ = e₁  mit [0] = [0] # [0] = [0] * [0] + [0] + [0] = [0]

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Noch kurz zum Inversen:

Nach Definition heißt es: Zu jedem a ∈ G existiert ein b ∈ G mit a # b = e = b # a.

Heißt also in unserem Fall a # b = [0] ?

Somit ergibt sich:

[2] # [10] = [0]
[4] # [12] = [0]
[6] # [6] = [0]
[8] # [8] = [0]
[6] # [6] = [0]
[14] # [14] = [0]
[0] # [0] = [0]

Darf man 2 mal das gleiche Element nehmen? Steht ja eigentlich oben a und b aus G

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Ja, ok klar kann man das. Nennt sich dann Selbstinvers.

Danke nochmal für die Tipps und Anregungen.

Answer 1

$$ 2 \mathbb Z/16 \mathbb Z =\{[0],[2],[4],[6],[8],[10],[12],[14] \}\subset \mathbb Z /16 \mathbb Z $$