Ich vermute mal, dass ihr ausgehend von der Menge der nat. Zahlen N = { 1 ; 2 ; ..... }
die Menge Z definieren wolltet. In der Schule macht man das ja eher so, dass irgendwie vom
Himmel fällt: Es gibt auch Zahlen unter 0 ( Thermometer oder so) und die nehmen wir
jetzt mal. Mathematisch korrekt muss man die Existenz dieser neuen Objekte ja irgendwie
garantieren. Eine Möglichkeit dazu ist eine bekannte Menge in Klassen aufzuteilen. Man
nimmt also die bekannte Menge der Paare natürlicher Zahlen und sagt:
zwei Paare (a;b) und ( c;d) liegen in der gleichen Klasse, wenn a+d = b+c.
[ Anschaulich: Die Differenzen b-a und d-c sind gleich. )
Damit erhält man (was nachweisbar ist) eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Paare
(a;b) ~ ( c;d) : ⇔ a+d = b+c
Und dann betrachtet man die zugehörige Klasseneinteilung.
Insbesondere gibt es ja die Klasse derjenigen mit gleichen Komponenten
(a;a) (b;b) etc. dazu gehört nat. auch ( 1;1) . Die sind alle in
der gleichen Klasse, weil (a;a) ~ (b;b) geprüft wird durch a+b = a+b
Und wenn man einen aus einer anderen Klasse etwa (x;y) nimmt und dazu addiert
also (x+a;y+a) dann ist der mit (x;y) in der gleichen Klasse; denn
x+a+y = y+a+x . Da dem so ist, belässt also die Addition eines (a;a) den anderen
Summanden in der Klasse, in der er war. Die von beiden vertretenen Klassen sind
also gleich, und deshalb ist die Klasse mit den (a;a) das neutrale El. dieser Addition.
Und das Ziel - negative Zahlen zu definieren - ist auch erreicht. Diese entsprechen den
Klassen mit den Paaren, bei denen die erste Komponente größer ist als die 2.
