Äquivalenzrelation, Äquivalenzklassen, Quotientenmenge, kommutative Gruppe

Question

Aufgabe:

Sei (G,+) eine kommutative Gruppe und U eine Teilmenge von G, die bezgl. + auch eine Gruppe ist (eine sogenannte Untergruppe von G). Jede Untergruppe U enthält 0 und mit u ∈ U ist auch -u ∈ U. (Das dürfen Sie verwenden, ohne es zu zeigen.

A) Zeigen Sie, dass durch x~y :⇔ x-y∈U eine Äquivalenzrelation auf G definiert wird und die Mengen x+U:={x+u;u∈U} die Äquivalenzklassen [x] bezüglich ~ sind.

B) Zeigen Sie, dass die Quotientenmenge G/~ durch die naheliegende Definition von “+” mit den Repräsentanten x,y von [x],[y] ∈ G/~ wieder eine kommutative Gruppe wird.

Quelle: http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~internet/LAI_WS1920/Uebungen/blatt5.pdf

Answer 1

Zeigen Sie, dass durch x~y :⇔ x-y∈U eine Äquivalenzrelation auf G definiert wird und die Mengen x+U:={x+u;u∈U} die Äquivalenzklassen [x] bezüglich ~ sind.

reflexiv:  Für alle x∈G   gilt  x~x denn das heißt ja nur x-x∈U  also 0 ∈U . Und das stimmt (s.o.)

symmetrisch:  Für alle x,y ∈G gilt x~y ==>  y~x  denn

x~y ==>  x-y ∈U  ==>   - ( y-x ) ∈U   und wegen [mit u ∈ U ist auch -u ∈ U. ]

                            stimmt das auch.

transitiv:    Für alle x,y,z  ∈G gilt x~y ∧ y~z ==>   x~z

Nach der Definition gilt

x~y ∧ y~z ==>   x-y∈U ∧  y-z∈U

wegen der Abgeschlossenheit von U gilt

                       (x-y) + ( y-z)  ∈U

                ==>    x-z  ∈U   ==>   x~z .  q.e.d.

Die Äquivalenzklassen bestehen immer aus allen Elementen von G,

die miteinander in dieser Relation stehen.

Sei also x ∈G  und y ∈ [x] .  ==>   x~y  ==>   x-y ∈ U

==> Es gibt ein u∈U  mit  x-y = u ==>   x-u = y

                                           ==>   x+ (-u) = y

Und  da mit y auch -y in U liegt, ist also y ∈   x+U.

Ist andererseits y ein Element aus x+U

==>  es gibt ein u∈U mit   y = x + u

==>      x - y =  -u   ==>    x~y.