Gleichheit von Äquivalenzklasse

Question

Ich soll folgende Aufgabe lösen.

Es sei (G,Ο) eine endliche Gruppe, es gilt also |G| < ∞. Weiter sei (H,Ο) eine Untergruppe
von G.
Wir definieren auf G die Relation
R := {(g1, g2) ∈ G × G | g1 Ο g2^(-1) ∈ H}.
Es ist gegeben, dass R eine Aquivalenzrelation ist. ¨

die Aufgabe: Sei g ∈ G. Zeigen Sie
[g] = HΟg := {h Ο g | h ∈ H}.

Mir ist klar, dass ich beide Inklusionen also "⊆" und "⊇" zeigen muss. Für "⊆" muss ich ja folgendes zeigen.

Sei g2∈[g1] beliebig ⇒ g2∈ (HΟg)

Aber ich habe keine Idee wie ich das zeigen kann.. Hat jemand einen Denkanstoß für mich

Answer 1

Nach Definition ist \([g]=\{g'\in G:\; g'\circ g^{-1}\in H\}\).

Nun gilt:

\(g'\circ g^{-1}\in H\iff \exists h\in H : \;g'\circ g^{-1}=h\iff\)

\(\exists h\in H:\; g'=h\circ g\iff g'\in H\circ g\), also

\([g]=\{g'\in G: \; g'=H\circ g\}=H\circ g\).