Äquivalenzrelation x~y mit f(x)=y und Orbits von Untergruppen

Question

Aufgabe:

Sei U eine Untergruppe der Menge aller Bijektionen einer Menge M auf sich. Eine Relation auf M sei wie folgt erklärt: x~y genau dann, wenn es eine Abbildung \(f\in U\) mit \(f(x)=y\) gibt.
a) Zeigen Sie, dass ~ eine Äquivalenzrelation ist. (Die Äquivalenzklassen werden Orbits von U in M genannt)
b) Bestimmen Sie die Orbits der Untergruppen
\(U_1\)={id},
\(U_2\)= alle Drehungen um einen festen Punkt (einschließlich der Identität),
\(U_3\) =alle Drehungen um einen festen Punkt mit Drehwinkel 0°, 90°, 180°, 270°
in der Ebene \(\mathbb{R}^2\).

Problem/Ansatz:

a) G={\(f:M\rightarrow M:f\) bijektiv}
Reflexivität: x~x
U Untergruppe => neutr. El. e in U
e=Id => f(x)=x entspricht Id <=> x~x => ~ reflexiv

Symmetrie: x~y=>y~x 
U Untergruppe => f\(^{-1}\) in U
x~y <=> f(x)=y => ? => f(y)=x <=> y~x

Transitivität: x~y und y~z => x~z
U Untergruppe => f\(*\)f in U
x~y und y~z  <=> f(x)=y und f(y)=z => f(f(x))=z => ? <=> x~z

b) \(U_1\)={id}
\(U_2=\){\(f_α:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2\) Drehung um α Grad um P, \(α \in \mathbb{R}\)}
\(U_3=\){\(f_α:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2\)Drehung um α Grad um P, \(α \in\){0, 90, 180, 270}}={\(f_0, f_{90}, f_{180}, f_{270}\)}
[x]={y ∈ X | x ∼ y} für x in X ist unsere Definition für Äquivalenzklassen, jedoch komme ich hier nicht weiter.

Answer 1

Muss man nicht etwas genauer argumentieren ?  Etwa so:

Reflexivität: zu zeigen:  Für alle x∈M gilt   x~x
Sei also x∈M.

U Untergruppe => neutr. El. id in U

Es gibt also ein El  f in U , nämlich id mit f(x)=x

==>      x~x     => ~ reflexiv

Symmetrie:   z.zg.:  Für alle x,y aus M gilt x~y=>y~x

Seien x,y aus M mit  x~y

==>  Es gibt f ∈ U mit  f(x)=y und

weil f bijektiv ist, existiert f^(-1) mit

                                    f^(-1)(y)=x

U Untergruppe => f^(−1) in U
Also existiert ein g in U , nämlich     f^(-1)
mit   g(y)=x     => y~x

Transitivität:  z.zg.:  Für alle x,y,z aus M gilt

                                x~y und y~z => x~z

Seien x,y,z aus M mit   x~y und y~z

=> Es gibt f und g in U mit f(x)=y und g(y)=z

 ==>    z = g(y) = g(f(x)) = (gof)(x)

U Untergruppe , also abgeschlossen gegenüber o

=> gof in U  .

Also gibt es ein h ∈ U, nämlich h=gof mit 
          h(x)=z    ==> x~z

Orbit von U1 sind alle Äquivalenzklassen von U1.

In einer solchen Klasse etwa [x]  sind alle y, die mit diesem

x in der Relation ~ stehen.  Da es in U nur die Identität gibt,

steht nur das x mit sich selbst in Relation, die Klasse [x]

enthält also nur das x. Damit sind die Äquivalenzklassen

alle einelementigen Teilmengen von M, also

Orbit(U1) = { {x} | x ∈ M }

Bei U2 denke ich:  Das P ist nur mit sich selbst äquivalent,

denn durch eine Drehung um P wird es auf kein anderes El.

von R^2 abgebildet.

Jeder andere Punkt  X kann durch die Drehungen um P auf  jeden

Punkt Y abgebildet werden, der auf dem Kreis um P mit Radius PX

liegt. Die Klassen sind also die Kreise um P.

Wenn man den Punkt P selber als Kreis mit dem Radius 0

interpretiert, könnte man also sagen:

Orbit(U2)= { K | K ist ein Kreis um P }

Bei U3 denke ich, dass die Klasse [x] aus den 4  Ecken des

Quadrates mit dem Mittelpunkt P besteht, dessen eine Ecke

das P ist.  Und  die Klasse [P] besteht nur aus P.

Also Orbit(U3)= { {ABCD} | A,B,C,D sind Ecken eines Quadrates mit Mittelpunkt P}

                         ∪ {P}