Zusammengesetzte Funktionen und ihre Ableitungen

Question

Gegeben sind die Funktionen

f : x → x³ + x² - 4x - 4

g : x → x - 2

Aufgabe:

a) Geben Sie die Zusammengesetzten Funktionen f + g, f - g, f • g und f/g an.

    Ich habe gerechnet:

für f + g:

x³ + x² - 4x - 4 + x - 2 = x³ + x² - 3x - 6

Für f - g:

x³ + x² -4x - 4 - x - 2 = x³ + x² - 5x - 6

Für f • g:

(x³ + x² - 4x - 4) • (x - 2)

⇔ x⁴ + x³ - 4x² - 4x - 2x³ - 2x² + 8x + 8 = x⁴ - x³ - 6x² + 4x + 8

Für f/g:

(x³ + x² - 4x - 4) : (x - 2) = x² + 3x + 2

b) Berechnen Sie ie Funktionsgleichung an den angegebenen Stellen:

(f + g)(0)

(f-g)(1)

(f•g)(1/2)

(f/g)(-1)

Ich habe gerechnet:

(f+g)(0) =  (x³ + x² - 3x - 6)(0) = 0

(f - g)(1) = (x³ + x² - 5x - 6)(1) = x³ + x² - 5x - 6

(f • g)(1/2) = (f • g)/2 = (x⁴ - x³ - 6x² + 4x + 8) : (x - 2) = x³ + x² - 4x - 4

(f/g)(-1) = (x² + 3x + 2)(-1) = -x² - 3x - 2

Ist das alles richtig so?

Mit den folgenden aufgaben komme ich nicht mehr weiter..

c) Berechnen Sie unter Verwendung der Ableitungsregeln (gegebenenfalls nach vorheriger Vereinfachung)

(f + g)', (f - g)', (f • g)' und (f/g)'

d) Welche Steigung hat die Tangente

– bei der Summenfunktion f+ g an der stelle x₀ = 1?

– bei der Differenzenfunktion f - g an der Stelle x₀ = 0?

– bei der Produktfunktion f • g an der Stelle x₀ = -1?

– bei der Quotientenfunktion f/g an der Stelle x₀ = 3?

Könnte jemand mir weiter helfen oder mir es vorrechnen?

Answer 1

Aufgabe b) hast du falsch verstanden.

Die Schreibweise (f+g)(0)

ist aufzufassen als:

"Setze 0 in die Funktion (f+g) ein." Herauskommt eine Zahl als Funktionswert. In der linken Klammer steht die (zusammengesetzte) Funktion, in der rechten Klammer das Argument.

Comments

Vielen Danke für deine Antwort Gast jc2144

also, 0 für x eingeben bei (f + g)? ( (f + g)(0) )

und x = 1 eingeben bei (f - g) ? ( (f/g)(1) )

usw.

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Genau, jetzt hast du es richtig verstanden :) .

Answer 2

Für f - g:

x^3 + x^2 -4x - 4 -( x - 2) = x^3 + x^2 - 5x -2

c)

(f+g)' =3x^2 +2x - 3

(f-g)' =3x^2 +2x - 5

(f • g)' =4x^3 -3x^2 -12x + 4

 (f/g)' =2x+3

d)  (f+g)' (1) =  2    etc.

Comments

Also

f(x) = xⁿ

f(x)' = n • x^{n - 1}

Jetzt habe ich es verstanden! Dankeschön!