Zeige, dass die Potenzmenge 2^M gemeinsam mit △ eine kommutative Gruppe ist.

Question

Aufgabe:

Sei M eine Menge. Wir setzen \(A \bigtriangleup B := (A \backslash B) \cup (B \backslash A) \: für \: alle \: A, B \subset M\) (symmetrische Differenz von A und B).

Zeige, dass die Potenzmenge 2^M gemeinsam mit \(\bigtriangleup\) eine kommutative Gruppe ist.

Problem/Ansatz

Mir sind bei der Aufgabe die ganzen Begrifflichkeiten bekannt, aber ich habe Probleme einen eleganten Weg zu finden, um die Transitivität und Kommutativität der Gruppe zu zeigen. Veen-Diagramme helfen mir gerade nicht wirklich weiter. Wie würdet ihr das zeigen?

Comments

Tipp: Benutze für Mengendifferenzen lieber \setminus. Damit stimmen die Abstände zwischen den Mengen und das Ganze sieht dann so aus: \(A \bigtriangleup B := (A \setminus B) \cup (B \setminus A)\) für alle \( A, B \subset M\)

Answer 1

Neutrales Element: \(\varnothing\)

Inverses Element zur Menge \(A\) bzgl. \(\triangle\): \(A\)

Assoziativität empfehle ich eine Wahrheitstabelle mit Aussagevariablen \(p \ \triangleq \ x\in A, \ q \ \triangleq \ x\in B, \ r \triangleq x\in C\), um zu zeigen, dass \(A\triangle (B \triangle C) = (A\triangle B) \triangle C \ \ \forall A,B,C\in 2^M\).

Kommutativität folgt durch Kommutativität von \(\cup\).

Comments

Wie liest man diese Zeile: p ≜ x∈A, q ≜ x∈B, r≜x∈C? Mir ist das Zeichen ≜ unbekannt.

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Dieses Zeichen soll gedeutet werden als "wird definiert als".

Im Übrigen noch ein kleiner Denkzusatz zu der Aufgabe:

\(x\in A\triangle B \Leftrightarrow (x\in A \ \wedge \ x\notin B) \vee (x\notin A \ \wedge \ x\in B) \Leftrightarrow \text{ entweder } x\in A \text{ oder } x\in B\)