Zeige mal erst die Abgeschlossenheit:
Das Ergebnis von a◦b muss also immer wieder in
m liegen. Für a+b<n ist das offenbar der Fall
und da a+b nie größer als 2n werden kann, ist im
anderen Fall a+b-n auch wieder im Bereich 1 bis n.
Das passt also.
assoziativ ?
Prüfe, ob in allen Fällen (a◦b)◦c = a◦(b◦c) gilt.
Da musst du die verschiedenen Fälle durchgehen,
etwa a+b+c < n , da ist es ja klar; denn da ist
(a◦b)◦c = (a+b) ◦c und da auch (a+b)+c dann < n ist
=(a+b)+c = a+(b+c) [wegen assoziativität in (ℕ,+) ]
= a + (b◦c) hier wieder die Summe <n also
= a◦(b◦c)
Die anderen Fälle entsprechend.
neutrales Element gibt es auch. Das ist das n;
denn für jedes a ∈ m ist a+n > n also
a◦n = a+n-n = a .
Und zu jedem a ∈ m gibt es ein inverses El.
Das ist für n das n selber und für
die anderen Elemente ist n-a invers zu a.
Und kommutativ zeigst du leicht, weil
a+b>n genau dann gilt, wenn auch b+a>n ist.
