lokale Extrema bestimmen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle lokalen Extrema von \( f:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x):=\sqrt{x}-x+\frac{1}{4} x^{2} \). (Dazu gehört die Angabe der Extremalstellen ebenso wie die Angabe der Extremalwerte und der Art des Extremums (lokales Minimum oder lokales Maximum), mit Beweis.)

Problem/Ansatz:

ich habe Folgendes:

f '(x) = \( \frac{1}{2*\sqrt{x}} \) + \( \frac{1}{2} \)x -1

Daraus ergibt sich, dass eine potentielle Nullstelle bei x = 1 ist.

Meine Frage:

Wie kann ich weitere Nullstellen finden bzw. wie kann ich die Formel so umstellen, dass ich z.B pq-Formel oder Polynomdivision anwenden kann?

Vielen Dank!

Comments

Hauptnenner bilden und Zähler Null setzen.

Answer 1

f(x) = √x - x + 1/4·x^2

f'(x) = x/2 + 1/(2·√x) - 1 = 0

Multipliziere mit 2·√x

x^(3/2) - 2·√x + 1 = 0

Subst. √x = z

z^3 - 2·z + 1 = 0 --> z = z = 1 ∨ - 1/2 ± √5/2

√x = 1 → x = 1

√x = - 1/2 - √5/2 → Keine Lösung

√x = - 1/2 + √5/2 → x = 3/2 - √5/2