Lokale Extrema und Wendepunkte berechnen

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Lokale Extrema und Wendepunkte (ohne Taschenrechner)

a)  f (x) = x⁴ - x²   

b)  f (x) = x / x³ - 4x

Problem/Ansatz:

ich habe Probleme die Extrema und den Wendepunkt zu berechnen.

Bei a) habe ich folgende Ableitungen

f(x) = x⁴−x²

f′(x) = 4x³−2x

f′′(x) = 12x²−2

f′′′(x) = 24x

Hier komme ich nicht mehr weiter. Ich habe versucht aus der ersten Ableitung die Nullstellen auszurechnen, aber da kommen komplett falsche Werte raus.

Bei b) bin ich wegen dem Bruch total aufgeschmissen.

Ergebnisse zu a):

a)

2 lokale Minima: T₁(−1/√2;−1/4); T₂(1/√2;−1/4)
1 lokales Maximum: H(0;0)

2 Wendepunkte: W₁(−1/√6; −5/36) mit li/re-Krümmung
                        W₂(1/√6; −5/36) mit re/li-Krümmung

b) habe Leider keine Lösung dazu

Ich hoffe jemand erklären wie ich Schritt für Schritt auf die Punkte komme und bedanke recht herzlich im Voraus!

VG

Anissa

Answer 1

a)

f(x) = x^4 - x^2
f'(x) = 4·x^3 - 2·x
f''(x) = 12·x^2 - 2

Extrempunkte

f'(x) = 4·x^3 - 2·x = 2·x·(2·x^2 - 1) = 0 --> x = 0 ∨ x = ± 1/2·√2

f(0) = 0 → HP(0 | 0)
f(± 1/2·√2) = - 0.25 → TP(± 1/2·√2 | - 0.25)

Wendepunkte

f''(x) = 12·x^2 - 2 = 0 --> x = ± 1/6·√6

f(± 1/6·√6) = - 5/36 → WP(± 1/6·√6 | - 5/36)

Zur Hilfe und Selbstkontrolle empfehle ich Rechenknechte, die Ableitungen bilden und Gleichungen lösen können.

Comments

Sieht die Funktion wie folgt aus ?

f(x) = x/(x^3 - 4·x)

Behebbare Definitionslücke bei x = 0

f(x) = 1/(x^2 - 4)

Answer 2

Anissa, nachts um 3 Uhr bist du sicher zu Bett gegangen und hast den Kommentar von Mathecoach nicht mehr gelesen. ich gehe davon aus, dass Mathecoach die Klammern im Nenner richtig gesetzt hat. Dann leitet man f(x)=\( \frac{1}{x^2-4} \) nach der Quotientenregel ab:

f '(x)= - \( \frac{2x}{/x^2-4)^2} \)

Ein Bruch ist gleich Null, wenn der Zähler Null ist und der Nenner an dieser Stelle nicht Null ist, Das ist an der Stelle x=0 der Fall.

Der Graph (rot) dieser Funktion sieht übrigens so aus;

Die Polstellen sind grün eingezeichnet. Hier ist die Funktion nicht definiert und es gibt keine Funktionswerte.