globale und lokale Extrema von f(x) = ln(x) / x

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f: (0,e^2] → R mit f(x) = ln(x) / x

Gesucht sind die globalen und lokalen Extremstellen.

Problem/Ansatz:

Ich habe das Maximum berechnet ( ist an der Stelle x = e und hat den Funktionswert 1/e) . In dem Fall ist das gleichzeitig das globale und lokale Maximum.

Ein globales Minimum haben wir glaube ich nicht, da die Funktion für x--> 0 gegen minus unendlich geht. Wie schreibt man das formal am besten und wie berechnet man denn das lokale Minimum im Intervall (0, e^2] ?

Danke im Voraus.

Answer 1

Aloha :)

Das lokale Maximum bei \(\left(e\big|\frac1e\right)\) hast du richtig bestimmt.

Die Ableitung der Funktion lautet jedoch:$$f'(x)=\frac{1-\ln(x)}{x^2}$$Für \(x>e\) ist sie negativ, d.h. für \(x>e\) ist die Funktion streng monoton fallend.

Für \(x<e\) ist positiv, d.h. für \(x<e\) ist die Funktion streng monoton steigend.

Daher muss das lokale Maximum bei \(x=e\) sogar das globale Maximum sein.

Da der Definitionsbereich \(x\in(0|e^2]\) lautet, findest du bei \(x=e^2\) noch ein lokales Randminimum (die Funktion ist ja für \(x>e\) streng monoton fallend), das du mit den Mitteln der Differentialrechnung nicht ermitteln kannst, da die Funktion für \(x=e^2\) nicht differenzierbar ist (es existeirt kein rechtsseitiger Grenzwet des Differenzenquotienten).

Wegen \(\lim\limits_{x\to0}f(x)=-\infty\) gibt es kein Randminimum am linken Rand, die Funktion ist für \(x=0\) ja auch gar nicht definiert.

Comments

Aloha ^^

Vielen Dank für die Antwort ! Ich finde es super, dass du so spät noch Fragen beantwortest das ist nämlich das zweite Mal, dass ich eine Frage so spät stelle und du bist immer da danke vom Herzen :)