Globale & Lokale Extrema bei f(x)=e^{1*x³-48x}

Question

Hey... Ich bin grad ein wenig überfordert...

 

Gegeben ist die Funktion f(x)=e^1*x³-48x für einen Definitionsbereich D(f):=[-7;2] ⊂ ℝ. Hierfür soll ich die lokalen & globalen Extrema finden (Rand und Innere)... Ich zeig erstmal, was ich schon habe....

 

Für die Inneren Extrema...

Zuerst muss ich die 1. Ableitung bilden, diese ist m.E.

f'(x)=(3x²-48)*e^1*x³-48x

Da, soweit ich weiß e^x nicht null werden kann, ergeben sich ja nur Extremwertstellen für (3x²-48), die da wären x₁=4 und x₂=-4. x₁ liegt nicht im Definitionsbereich, kann ich also außen vor lassen....

Dann muss ich die 2. Ableitung bilden, diese wäre m.E.

f''(x)=(3x²-48)²*e^1*x³-48x + 6x*e^1*x³-48x

Dort setze ich meine Extremwertstelle x₂=-4 ein:

f''(-4)=(3*-4²-48)²*e^1*-4³-48*-4 + 6*-4*e^1*-4³-48*-4  = -24*e¹²⁸

Da mein Ergebnis negativ ist, muss meine Extremwertstelle x₂=-4 ein lokales Minimum darstellen (?)

 

Und das ist der Punkt, wo ich nicht weiter weiß... wie schlussfolgere ich, dass es sich auch um ein globales Minimum handelt (tut es das überhaupt?)?

Und wie komme ich auf die Randextrema (sofern vorhanden)? Ich muss, soweit ich weiß, die Grenzwerte für x→-7 und x→2 bestimmen, habe die Funktion auch geplottet, nur was ich da gesehen habe, hat mir absolut nicht weitergeholfen...

 

LG & Danke,

Lain

Comments

Mir ist noch was für die Randextrema eingefallen.

Ich könnte die Grenzwerte für x→-7 und x→2 bestimmen indem ich die Werte einfach in meine Funktion einsetze?

Demnach wäre das für

x→-7 : f(-7)=e^1*x³-48x = 1/e⁷

und für

x→2 : f(2)=e^1*x³-48x = 1/e⁸⁸

 

Aber wie mir das weiterhelfen soll ist mir schleierhaft :(

Answer 1

Hi Lain,

es ist richtig, dass Du f'(x) bestimmen musst und ebenfalls richtig sind die von Dir genannten Extremstellen.

Dann passt es nicht mehr so ganz. Wie kommst Du auf die zweite Ableitung? Berücksichtige die Produktregel!

f''(x) = (9x^4-288x^2+6x+2304)e^{x³-48x}

Es ist f''(-4)<0, weswegen wir ein Maximum an x = -4 haben, mit f(-4) = e^{128}

Untersuche noch die Randwerte.

Die sind offensichtlich kleiner als das von uns bekannte Maximum und damit ist dieses auf dem Definitionsbereich maximal (also global).

Grüße

P.S.: Ich sehe gerade (es ist so oder so falsch), dass Du f''(x)<0 als Minimum interpretiert hast. Das ist aber ein Maximum ;).