Welche Funktion stellt eine Lösung für folgendes Anfangswertproblem dar?

Question

Aufgabe:

Welche Funktion yk(x) stellt eine Lösung für folgendes Anfangswertproblem dar?

\(\displaystyle y^{\prime}(x)+\frac{y(x)}{2 x}=0 \quad \) mit \( y(2)=\sqrt{3} \)

Problem/Ansatz:

Was muss man bei solchen Aufgaben genau machen? Gibt es bestimmte Regeln auf die man achten muss? Wie löst man die Aufgabe korrekt?

Answer 1

Huhu,

Du kannst hier die Variablen separieren. Also alles mit y auf die eine Seite, alles mit x auf die andere. Da kannst Du dann integrieren.

Stichpunkt: Trennung der Variablen.

Probiers mal und meld Dich.

Grüße

Comments

1. Ich komme bis zu dem Punkt

y(x) / y‘(x) = -2x

Dann überlege ich mir

2. y‘(x)/ y(x) = -1/2x

Dann integrieren und lösen

ln |y(x)| = -1/4 x² + C

Weiter komme ich nicht und ich weiß auch nicht ob das so überhaupt stimmt.

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Das ist leider nicht richtig.

Im zweiten Punkt heißt es doch -1/(2x). Das ergibt beim Integrieren nicht -1/4 x².

Überprüf das nochmals. Sonst sieht es schonmal gut aus ;).

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-1/2 Ln |x|+C?

Mir würde tatsächlich nicht einfallen was sonst der Fehler wäre.

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Yeah sehr gut :).

Sind also hier:

\(\ln|y| = -\frac{\ln|x|}{2} + C\)

Nun entfernen wir den Logarithmus. Auf beiden Seiten exponentieren wir:

\(e^{\ln|y|} = e^{-\frac{\ln|x|}{2} + C}\)

Mit den Logarithmengesetzen kann man den rechten Teil auseinanderziehen. Den linken kann man ja direkt hinschreiben:

\(y = e^{-\frac{\ln|x|}{2}}\cdot e^C = \frac{D}{\sqrt{x}}\)

Dabei habe ich e^C = D zu einer neuen Konstante umgeschrieben, damit es schöner aussieht.

Wir haben also die allgm Lösung \(y = \frac{D}{\sqrt x}\)

Du weißt wie Du die Anfangsbedinung verwendest?

P.S.: Bin erstmal essen

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Ich komm auf den Wert - 3/2 für C aber der Wert ist wahrscheinlich falsch.

Y(x)= x^-1/2* C

Dann Wurzel 3 für y(x)

Und 2 für x

Dann C finden

Ist das richtig so oder falsch weil ich komme so nicht auf das Ergebnis was ich möchte

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Schon besser (bezog sich auf die korrigierte Stammfunktion von 1/x)

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Supi!

Das sieht soweit gut aus. Beachte, dass Konstanten beliebig umgeschrieben werden können. Mag also sein, dass eine etwaige Musterlösung eine andere Konstante hat. Dein Wert für C ist aber falsch zu dem C das Du angibst.

Dein Stand

\(y(x)= x^{-1/2}* C\)

Dein Einsetzen:

\(\sqrt{3} = 2^{-\frac12} \cdot C\)

\(\sqrt 3\cdot \sqrt 2 = C\) |Hier hast du dich vermutlich vertan

\(C = \sqrt 6\)

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Wurzel (6/x) wäre dann die Lösung ?

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Sollte man nach dem ‚Exponentieren‘ nicht noch irgendetwas zu den Beträgen bzw. zu deren weglassen sagen?

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Genau:

Wurzel (6/x)

@Jumanji: Hat Matheeundso selbstständig verwendet. Sehe kein Bedarf. Oder muss ich dann auch erklären warum es nur ein +C gibt etc? Darfst aber natürlich gerne noch anfügen.

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Ich denke, es ist erforderlich, daß Du in Deiner Rechnung (siehe unter ‚Yeah, sehr gut’) erklärst, wie Du von

e^ln|y| zu y kommst.

Das diese Erklärung nötig ist, wird deutlich, wenn die Anfangsbedingung z.B. y(-2) = -\( \sqrt{3} \) lauten würde.

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Die zwei Gleichungen nach dem Exponentieren bitte noch korrigieren.

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@nudger: Danke :)

@Jumanji: Ich sehe das weiterhin nicht als notwendig an. Ich werde kaum im Bereich der DGL ein jedes Mal diesen Schritt erklären müssen. Wie erwähnt muss sonst auch bspw die Erklärung des +C her.
Was natürlich nicht heißt, dass sie nicht her darf. Zu viel Erklärung schadet sicher nicht.

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@Jumanji: Ich stimme Dir zu. Tatsächlich ist in dem Block "Yeah" die Gleichung

$$y=\exp(-|x|/2)\exp(C)$$

als Folgerung falsch - aus den von Dir genannten Gründen -. Dies wird dann repariert, indem die stets positive Zahl exp(C) durch das beliebige D ersetzt wird.