Question

Eine Brunnenbaufirma stellt folgendes Angebot: Das Graben des ersten Meters des Brunnens kostet 1500.00 GE, für jeden weiteren Meter erhöht sich der Preis um 330.00 GE. (Der zweite Meter kostet also 1830.00 GE, der dritte 2160.00 GE usw.) Sie benötigen einen Brunnen von 21 Metern Tiefe. Was kostet dieser Brunnen?

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Dein Ergebnis stimmt  mMn nicht. d = 330!

Answer 1

es handelt sich hier um eine n-te Partialsumme der arithmetische Folge$$a_n=1500+(n-1)·330$$$$s_n=\sum\limits_{k=1}^{n} a_n=n·a_1+\frac { n·(n-1) }{ 2 }$$n = 21 ,  a1 = 1500 ,  d = 330$$s_{21}=21·1500+\frac { 21·20 }{ 2 }·330=100800$$Der Brunnen kostet  100800 GE 

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo Wolfgang,

Ich habe alle Preise hier aufgezählt und komme auf ein anderes Ergebnis:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=1500%2B1830%2B2160%2B2490%2B2820%2B3150%2B3480%2B3810%2B4140%2B4470%2B4800%2B5130%2B5460%2B5790%2B6120%2B6450%2B6780%2B7110%2B7440%2B7770%2B8100%C2%A0

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an = 1500 + (n-1) * 300

Oben steht 330 € im Text ;)

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Danke für die Hinweise, hatte mich da (330€) verlesen und habe die Antwort korrigiert.

Answer 2

Kostenfunktion pro meter

k ( x ) = 1500 + 330 * x

∫ k ( x ) dx zwischen 1 und  21
[ 1500 * x + 330 * x^2 / 2 ] zwischen 1 und 21

1500 * 21 + 330 * 21 ^2 / 2 - ( 1500 * 1 + 330 * 1 ^2 / 2 )

102600 GE

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Ist es irgendwie möglich, dass auch mit dem Summzeichen zu definieren?

(1500+330)+(x+330)+(x+330)+(x+330)....

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Das ist doch eine arithmetische Reihe. Also kein Fall fürs integrieren, oder?

https://de.wikipedia.org/wiki/Arithmetische_Reihe

Ergebnis:100800

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Also ich dachte sofort ans Summenzeichen als ich die Aufgabe laß

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1.)
Korrektur

Kostenfunktion pro meter

k ( x ) = 1500 + 330 * ( x -1 )
k ( x ) = 1170 + 330 * x

∫ k ( x ) dx zwischen 1 und  21
[ 1170 * x + 330 * x^2 / 2  ] zwischen 1 und 21

1170 * 21 + 330 * 21 ^2 / 2 - ( 1170 * 1 + 330 * 1 ^2 / 2 )

96000 GE

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Hallo Andreas,
hallo Anton,
da habt ihr Recht.

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Gast, wie schreibt man das mathematisch auf?

Ich habs mal in WolframAlpha eingetippt:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=1500%2B1830%2B2160%2B2490%2B2820%2B3150%2B3480%2B3810%2B4140%2B4470%2B4800%2B5130%2B5460%2B5790%2B6120%2B6450%2B6780%2B7110%2B7440%2B7770%2B8100 

Das Ergebnis stimmt.

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Integral geht nicht bei diskreten Sachverhalten. :)

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Der Vollständigkeit halber.

Anfang ( 1 ) = 1500
Ende ( 21 ) = 8100

( Anfang + Ende ) * Anzahl / 2
( 1500 + 8100 ) * 21 / 2
108000

@Anton
Gauß hat das ausgetüftelt.
Ist nicht so schwer.
Schau einmal bei Wikipedia nach

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da habt ihr Recht.

Warum gibst du so schnell auf ?

₀ ∫²¹ 1335 + 330x dx  =  100800

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Warum veränderst du die Zahlen: Es sind 1500 nicht 1335.

Da kommt was andres raus:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+1500%2B330x+from+0+to+21

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Dein Fehler : https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+1335%2B330x+from+0+to+21

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Wie kommst du auf die 1335? 

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1500 - 0,5·330  =  1335  (weil das Integral die untere Grenze 0 hat)

In der Mitte des ersten Teil-Intervalls von 0 bis 1 hat die Integrandenfunktion dann den Wert 1500, das ist auch ihr durchschnittlicher Wert in diesem Intervall.

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So werden solche Aufgaben gewöhnlich/ in der Schule nicht gerechnet.

Klarer Fall für die arithm. Reihe.

Dein Ansatz ist m.E. zu kompliziert.

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Dein Ansatz ...

Georg hat Integration ins Spiel gebracht und das ist allerdigs genau diejenige Methode, die man anwenden muss, wenn nicht nach ganzen Metern gebohrt und abgerechnet wird sondern nach Dezimetern oder gar Zentimetern oder gar Millimetern oder gar ... eben kontinuierlich.

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"Gauß hat das ausgetüftelt.
Ist nicht so schwer.
Schau einmal bei Wikipedia nach"

Nein, die Anwendung ist nicht schwer (habe ich schnell verstanden), aber so etwas auszutüfteln ist eine Meisterleistung! Mein Respekt an Gauß und alle anderen Mathematiker.

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Hier die bekannte Anekdote dazu

https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/arithmetische-zahlenfolgen

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"mit neun Jahren" Wow!

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Hallo Anton,
sich habe einen Wissensartikel zum Thema
geschrieben

https://www.mathelounge.de/534798/arithmetische-reihe-als-integralrechnung

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Hallo Georg,

Ich bin gerade auf dem Nachhauseweg nach der Schule. Ich werde mir den Artikel  angucken, sobald ich Zeit habe. Der Kern der Frage hier ist so simpel, das man meint jeder könnte sie ,ohne alle Werte aufzuschreben und zu addieren, lösen.

Ich hätte nicht gedacht, das es zu solchen Diskussionen führt.

Ein interesanntes Thema!

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Hallo @all,

Ich sitze hier gerade vor einer Aufgabe und musste sofort an diese denken.

"Eine Firma besitzt Maschinen, die durch Abnutzung jedes Jahr an Wert verlieren. Bei der Ermittlung des Vermögens der Firma wird auch der Wert der Maschinen berechnet. Dazu gibt es verschiedene Abschreibungsmethoden, zum Beispiel:

(1) Der Wert einer Maschine verliert jedes Jahr 10% der Anschaffungskosten

(2) Der Wert einer Maschine verliert jedes Jahr 30% des Wertes im Vorjahr, im 1. Jahr 30% der Anschaffungskosten.

a) Eine Maschine kostet 40000 EUR. Berechne nach beiden Methoden den Wert der Maschine am Ende des 4. Jahres.

Hierbei geht es mir insbesondere um die (1) Methode, kann man das irgendwie auch in eine arithmetische Folge bringen?

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Schau mal unter lineare AfA.

Der AfA -Betrag ist konstant jedes Jahr und liegt bei 40000*0,1 = 4000.

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Okay, werde ich mir anschauen, ich meine, ich könnte die Aufgabe auch einfach per Hand lösen, aber es geht bestimmt auch einfacher.

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Ich könnte es einfach so rechnen:

"Der Wert einer Maschine verliert jedes Jahr 10% der Anschaffungskosten"

40000-(40000*0.1)-(40000*0.1)-(40000*0.1)-(40000*0.1)=24000

Aber das ist ja langweilig. Wie bekomme ich das in eine Reihe?

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Der Abgeschriebene Betrag gibt eine Reihe

S = Σ (k = 0 bis n) (4000 * 0.1)

Und das ist in der Tat relativ langweilig. Dafür nimmst du keine Reihe.

Lies genau nach was eine arithmetische und eine geometrische Reihe ist. Dieses sind nur zwei ganz spezielle Reihen von unendlich vielen Reihen.

Schreibe dir dazu auch Anwendungsbeispiele auf.

1. Ich möchte etwas Geld über ein Jahr sparen. In der ersten Woche spare ich 50 Euro. In jeder weiteren Woche spare ich 5 Euro mehr als in der vorherigen Woche. Wie viel Geld habe ich nach 52 Wochen gespart.

2. Ich möchte etwas Geld über ein Jahr sparen. In der ersten Woche spare ich 50 Euro. In jeder weiteren Woche spare ich 10% mehr als in der vorherigen Woche. Wie viel Geld habe ich nach 52 Wochen gespart.

3. Ich möchte etwas Geld über ein Jahr sparen und vereinbare mit meiner Bank einen Sparplan. In der ersten Woche spare ich 50 Euro. In jeder weiteren Woche spare ich 10 Euro mehr als in der vorherigen Woche. Die Bank verzinst das Geld mit einfachen Zinsen zu 1% p.a. Wie viel Geld habe ich nach 52 Wochen inkl Zinsen gespart.

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Anton,

40000-(40000*0.1)-(40000*0.1)-(40000*0.1)-(40000*0.1)=24000

40000 - 4 * 4000 = 24000

(2) Der Wert einer Maschine verliert jedes Jahr
30% des Wertes im Vorjahr, im 1. Jahr 30% der Anschaffungskosten.

Wertverlust
0.3
Wertbestand
1 - 0.3 = 0.7
im 1.Jahr 40000 * 0.7
im 2.Jahr 40000 * 0.7 * 0.7
im 3.Jahr 40000 * 0.7 * 0.7 * 0.7
im 4.Jahr 40000 * 0.7 * 0.7 * 0.7 * 0.7
entspricht 40000 * 0.7 ^4 = 40000 * 0.24

Exponentialfunktion weil die Variable im
Exponenten steckt.

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Das dass andere eine Expo-Funktion ist wusste ich. Exponentielle Abnahme.

q=1-p%

p%=0.3

q=1-0.3=0.7

N₀=40000

t=4

N(t)=40000*0.7^4

N(t)=9604

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Mußt du aber sehen und vereinfachen können

40000-(40000*0.1)-(40000*0.1)-(40000*0.1)-(40000*0.1)
40000 - 4000 - 4000 - 4000 - 4000
40000 - 4 * 4000

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Mathecoach,

Ich hatte noch nie irgendwas mit Reihen und Folgen in der Schule, kann es aber dennoch mit etwas Recherche versuchen

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a) Ich möchte etwas Geld über ein Jahr sparen. In der ersten Woche spare ich 50 Euro. In jeder weiteren Woche spare ich 5 Euro mehr als in der vorherigen Woche. Wie viel Geld habe ich nach 52 Wochen gespart.

$$s_{52}=52·50+\frac { 52·51 }{ 2 }·5=9230$$

Kann das stimmen? Ich denke, dass die Aufgabe hier und diese Ähnlichkeiten haben

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Das ist richtig. Kann man selber auch bei Wolframalpha mit einer Summe überprüfen

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum_k%3D1%5E52+(5(k-1)%2B50)