Bestimmen Sie folgende Grenzwerte

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie folgende Grenzwerte.

\(\displaystyle \lim \limits_{n \rightarrow 1}\left(\frac{3-4 n}{2 n^{2}+5 n-7}\right) \)

Problem/Ansatz:

Wie erkenne ich bei solchen Gleichungen ob sie + / — unendlich als Grenzwert haben?

Comments

Wie erkenne ich bei solchen Gleichungen ob sie + / — unendlich als Grenzwert haben?

Das ist keine Gleichung.

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Solche Ausdrücke sind einfach einzuschätzen, mit ein bisschen Übung reicht ‚scharfes Hinsehen‘.

Setze erst einmal 1 in den Ausdruck ein.

Da der Zähler einen Wert ungleich Null hat, der Nenner hingegen aber Null ergibt, weißt Du jetzt schon, dass der Ausdruck unendlich groß werden wird (ob + oder - Unendlich, darüber reden wir noch).

Um sich davon zu überzeugen, kann man durch Zahlen teilen, die fast Null sind (also hier mit Zahlen, die ganz nahe bei der 1 sind, da man ja nicht durch Null selber teilen darf) dann wird der Bruch immer mehr gegen Unendlich streben.

Nachdem Du das schon mal weißt, mußt Du nur noch prüfen, ob der Ausdruck gegen plus oder minus unendlich strebt und ob es vielleicht noch einen Unterschied macht, ob wir uns von rechts oder von links der 1 nähern. (Also ob wir Zahlen wie z.B. 0,99 oder 1,01 einsetzen.)

Im konkreten Fall ist der Zähler immer negativ, beim Nenner muß man nur kurz hinschauen, um zu sehen, was passiert und dann weiß man, was insgesamt passiert.

Answer 1

Es kommt darauf an, ob man von unten oder oben sich 1 annähert. Es ist eine Polstelle. Der Zähler geht gegen -1 und der Nenner ist negativ wenn n < 1 und positiv wenn n > 1. Im ersten Fall ergibt das plus unendlich und im zweiten Fall minus unendlich.

Answer 2

Aloha :)

Du kannst den Folgenterm etwas umformen:$$a_n=\frac{3-4n}{2n^2+5n-7}=-\frac{4n-3}{(n-1)(2n+7)}$$

Wären für \(n\) nicht nur natürliche Zahlen zugelassen, würde der Nenner an der Stelle \(n=1\) sein Vorzeichen wechseln, der Zähler seines aber behalten. Im kontinuierlichen Fall hättest du also ein Polstelle mit Vorzeichenwechsel vorliegen.

Hier jedoch sind für \(n\) nur natürliche Zahlen zugelassen, sodass du dich der Grenze \(n=1\) nur von oben her nähern kannst. Das heißt, Zähler und Nenner sind beide positiv:$$\lim\limits_{n\to1}(a_n)=\lim\limits_{n\searrow1}(a_n)=-\infty$$

Comments

Hier jedoch sind für \(n\) nur natürliche Zahlen zugelassen, sodass du dich der Grenze \(n=1\) nur von oben her nähern kannst.

Das steht nirgends, auch wenn die verwendete Benennung der Variablen das nahelegt. Entsprechendes zu schlussfolgern halte ich daher nicht für richtig.

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Ich frage mich auch, wie man dann einen Grenzwert bilden kann, wenn 2 der letzte erlaubte Wert ist :-)