Argument komplexe Zahl bestimmen Winkel

Question

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Aufgabe 9 (5 Punkte) Gegeben seien die komplexen Zahlen, \( z_{1}=1-\mathrm{i} \) und \( z_{2}=(1+\mathrm{i})(1-\sqrt{3} \mathrm{i}) \).
(a) Schreiben Sie \( z_{1} \) in Polarkoordinaten mit Argument in \( [0,2 \pi) \).
\( z_{1}=\sqrt{2}\left(\cos \left(\frac{7 \pi}{4}\right)+\mathrm{i} \sin \left(\frac{7 \pi}{4}\right)\right) \)
(b) Bestimmen Sie \( \left|z_{2}\right| \) und \( \arg \left(z_{2}\right) \in[0,2 \pi) . \quad\left|z_{2}\right|=2 \sqrt{2} \quad \) und \( \quad \arg \left(z_{2}\right)=\frac{23}{12} \pi \)
(c) Schreiben Sie \( \frac{z_{2}}{z_{1}^{3}} \) in der Form \( a+b \) i mit \( a, b \in \mathbb{R} . \quad \frac{z_{2}}{z_{1}^{3}}= \)

Hallo, leider verstehe ich nicht ganz wie man auf das Argument der b kommt…

LG

Answer 1

(1+i) hat das Argument 45°=π/4, und (1-i√3) hat das Argument 300°= 5π/3 .

Wenn man (1+i) und (1-i√3) multipliziert, muss man beide Argumente addieren.

Answer 2

Aloha :)

Überlege dir, welche Koordinaten die beiden komplexen Zahlen in der Gauß'schen Zahlenebene haben und achte besonders auf die Vorzeichen, damit klar ist, in welchem Quadranten sich die Punkte befinden, sodass die Vorzeichen der Winkel klar sind:$$1+i\to\binom{1}{1}\quad;\quad1-\sqrt3i\to\binom{1}{-\sqrt3}$$Für diese beiden Punkte kannst du die Polar-Darstellung hinschreiben:$$\binom{1}{1}\to\quad r=\sqrt2\;;\;\varphi=\arctan(1)=45^\circ=\frac\pi4$$$$\binom{1}{-\sqrt3}\to\quad r=2\;;\;\varphi=-\arctan(\sqrt3)=-60^\circ=-\frac{\pi}{3}$$

Nun kannst du die Multiplikation in Polarkoordinaten durchführen:$$(1+i)\cdot(1-\sqrt3i)=\sqrt2\,e^{i\,\frac\pi4}\cdot2\,e^{-i\,\frac\pi3}=2\sqrt2\cdot e^{i\left(\frac\pi4-\frac\pi3\right)}=2\sqrt2\cdot e^{-\frac{\pi}{12}i\,}$$

Da der Polarwinkel im Intervall \([0;2\pi)\) angegeben werden soll, addieren wir \(2\pi\) hinzu:$$\operatorname{arg}(z_2)=-\frac{\pi}{12}+2\pi=\frac{23}{12}\,\pi$$