Lokale Extrema berechnen von einer Funktion mehreren Variablen mit einer quadratischen Nebenbedingung.

Question

ich schreibe meine Mathe-Prüfung in diesem Sommersemester und wollte die Probeklausuren von den letzten Jahren lösen als eine gute Übung. Dabei habe ich Schwierigkeiten mit der folgende Aufgabe bekommen:

Aufgabe:

Berechnen Sie die Kandidaten für lokale Extrema der Funktion f : R² → R mit:

f(x,y) = 2x² - 6y

unter der Nebenbedingung:

2x² + y² = 9

Handelt es sich um lokale Minima oder Maxima? Begründen Sie Ihre Antwort.

Hat die Funktion f ohne Berücksichtigung der Nebenbedingung lokale Extrema? Begründen Sie Ihre Antwort.

Problem/Ansatz:

Ich habe bis jetzt noch nie einen Extremwert bei einer Funktion mit mehreren Variablen unter einer quadratische Nebenbedingung berechnet. Nur mit einer normalen Nebenbedingung wie z.B. x + y = 2. Dabei kann ich das Gleichungssystem nach der 1-te Ableitung von der Lagrange-Funktion nicht lösen, da ich zu viele Unbekannten habe.

Ich bräuchte nur die Schritte die man braucht um die Aufgabe zu lösen.

Vielen Dank.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

1) Bestimmung der Extremwert-Kandidaten

Wir sollen \(f(x;y)\) unter einer konstanten Nebenbedingung \(g(x;y)\) optimieren:$$f(x;y)=2x^2-6y\quad;\quad g(x;y)=2x^2+y^2-9=0$$

Nach Lagrange muss der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen sein. Hier haben wir nur eine Nebenbedingung, also lautet die Forderung:$$\operatorname{grad}f(x;y)=\lambda\operatorname{grad}g(x;y)\implies\binom{4x}{-6}=\lambda\binom{4x}{2y}$$Das heißt, dass die beiden Gradienten kollinear sein müssen. Daher spannen sie keine Fläche auf und ihre Determinante muss verschwinden:$$0\stackrel!=\operatorname{det}\begin{pmatrix}4x & 4x\\-6 & 2y\end{pmatrix}=8xy-24x=8x(y-3)\quad\implies\quad x=0\;\lor\;y=3$$

Diese Lagrange-Bedingungen setzen wir in die Nebenbedingung ein:$$x=0\implies9=2x^2+y^2=y^2\implies y=\pm3\quad\implies\quad K_1(0|-3)\;;\;K_2(0|+3)$$$$y=3\implies9=2x^2+y^2=2x^2+9\implies x=0\quad\implies\quad\text{kein neuer Kandidat}$$Wir haben also zwei Kandidaten für Extremwerte gefunden.

2) Bewerten der Kandidaten

Die Funktionswerte bei den beiden Kandidaten \(K_1(0;-3)\) und \(K_2(0;3)\) lauten:$$f(0;-3)=18\quad;\quad f(0;3)=-18$$Für \(x=0\) verläuft \(f(0;y)=-6y\) linear. Daher ist \(K_1\) ein Maximum und \(K_2\) ein Minimum.

Answer 2

lagrange Funktion aufstellen

$$ L(x,y,\lambda) = 2x^2 - 6y +\lambda(2x^2+y^2-9) $$

Erste Ableitungen von \( L \) nach \( x, y, \lambda \) Null setzten und die drei Gleichungen auflösen nach \( x\) und \( y \).

Hesse-Matrix berechnen und die gefundenen Lösungen einsetzen. Ist die Hesse-Matrix positiv definit liegt ein Minimum vor. Bei negativ definit leigt ein Maximum vor.