Extremstellen der Temperatur unter Nebenbedingung mit mehreren Veränderlichen

Question

Gegeben sei die Kreisplatte K=(x^2+y^2≤1), welche erwärmt wird mit T(x, y)= x^2+y^2-x+30.

Berechne die Punkte wo die Temperatur am heißesten bzw. am kältesten ist.

Durch Gradient und Hessematrix, kommt man ja schnell auf die Werte (1/2,0) welche ein Minimum darstellen, aber wo bleiben dann die Maximumswerte, sollte ich hier allgemein mit Lagrange arbeiten?

Answer 1

Langrange wäre

L(x, y, k) = x^2 + y^2 - x + 30 - k·(x^2 + y^2 - 1)

L'x(x, y, k) = - 2·k·x + 2·x - 1 = 0

L'y(x, y, k) = 2·y - 2·k·y = 0

L'k(x, y, k) = x^2 + y^2 - 1 = 0

Löse das Gleichungssystem und erhalte: (x = -1 ∧ y = 0 ∧ k = 3/2) ∨ (x = 1 ∧ y = 0 ∧ k = 1/2)

Das eine davon ist das Maximum welches auf dem Rand eingenommen wird.

Alternativ zu dieser Schreibweise kannst du auch die Schreibweise von racine_carrée benutzen.

Answer 2

Die Funktion \(T(x,y)=x^2+y^2-x+30\) soll unter der Nebenbedingung \(x^2+y^2\leq 1 \Leftrightarrow g(x):=x^2+y^2-1 \leq 0\) maximiert werden.

Berechne dafür \(\begin{vmatrix} T_x & g_x \\ T_y & g_y \end{vmatrix}\stackrel{!}{=}0\). Wir haben also:$$\begin{vmatrix} 2x-1 & 2x \\ 2y & 2y \end{vmatrix}\overset{(*)}=2y\cdot 2x-2y\cdot  (2x-1)=4xy-4xy+2y=2y=0 \Rightarrow y=0$$ Bei \((*)\) wurde die Regel von Sarrus angewendet. Wir haben also \(y=0\) und daraus folgt, dass \(x^2\leq 1-y^2=1\), also \(-1\leq x \leq 1\). Kannst ja mal an den Rändern testen.

Comments

Und nicht direkt abschalten, das ist Lagrange:

https://www.mathelounge.de/615726/lagrange-multiplikator-verfahren-determinanten-schneller

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Was du schon prima gemacht hast ist das globale Minimum herauszufinden.

Weitere Extrema bzw. hier das Maximum liegt auf dem Rand der Kreisplatte. Dazu untersuchst du den Rand mit Lagrange. Das ist empfehlenswert.

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An wen ist das gerichtet?

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An wen ist das gerichtet?

An den Fragesteller.

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Danke für die Antwort, mir ist da ein Fehler unterlaufen und zwar habe ich einen Koeffizienten vergessen bei der Zielfunktion T(x, y). x^2+2y^2...

Wenn ich ja alles genauso mache, komme ich ja auf - 4xy-2y=0

... y(4x+2)=0 was ja y=0 ist oder x=-1/2. So minima hätte ich ja dann wie sollte ich aber dann mit Lagrange den Rand untersuchen? Soll ich dann mit T(1,y) alles Durchsuchen nach dem Maxima? Beim Viereck oder ähnliches müsste man ja vier Ränder untersuchen plus Eckpunkte, reicht das denn beim Kreis mit einem Rand?

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Du hast anscheinend richtig gerechnet. \(y\) ist aber nicht null.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=maximize+x%5E2%2B2y%5E2-x%2B30+with+x%5E2%2By%5E2+%3C%3D+1

Answer 3

Hallo

 dein Minimum liegt ja nicht innerhalb x^2+y^2<=1

wenn du f(x,y) schreibst als f(x,y)=(x-1/2)^2+y^2+29,75

siehst du ohne Rechnung dass bei x=1/2, y=0 das absolute Minimum liegt. für alle anderen x,y wächst die Funktion, kann also nur noch auf dem Rand des Gebietes maximal werden

 also bei x^2+y^2=1 einsetzen und x und dann y ausrechnen.

Gruß lul