lokale Extrema bestimmen und mithilfe der Hesseschen Matrix überprüfen ob Minima oder Maxima vorliegt

Question

Bestimmen Sie die lokalen Extrema von \( \boldsymbol{x}^{t} A \boldsymbol{x}+\boldsymbol{b}^{t} \boldsymbol{x}, A=\left(\begin{array}{cc}1 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 1\end{array}\right), \boldsymbol{b}=\left(\begin{array}{c}-3 \\ -2\end{array}\right) \)
und geben Sie mit Hilfe der Hesse'schen Matrix an, ob Minima oder Maxima vorliegen.

Wie geht man so ein Beispiel an?

Answer 1

x hat die Form \( \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} \), und \(x^T\) hat dann die Form \( \begin{pmatrix} c & d \end{pmatrix} \) . Setze das ein, erzeuge damit eine Funktion \(f(c,d)=\boldsymbol{x}^{t} A \boldsymbol{x}+\boldsymbol{b}^{t} \boldsymbol{x}\) und bestimme deren Extremstellen mit den bekannten Methoden.

Comments

danke, mir war nicht bewusst, dass das kleine t für Transponiert steht. Bin es nur mit großem T gewohnt. Also wären die Funktionen in dem Fall f(a,b) = 1a + 1/2b = -3 und f(a,b)= 1/2 a + 1b = -2 oder? Was dann? Soll ich von jeder dieser Funktion die Extremstellen ermitteln? Wie führe ich sie dann wieder zusammen?

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Wieso "die Funktionen"?  Das ist nur eine.

Das Produkt (1x2-Matrix)mal(2x2-Matrix)mal(2X1-Matrix) ergibt eine (1x1-Matrix), ebenso das Produkt b^t mal x. Im Prinzip ist also das Ergebnis nur die Summe von zwei Zahlen, und die ist wieder nur EINE Zahl.

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irgendwie verstehe ich diese Formel f(c,d)=xtAx+btx  nicht. Was setze ich genau in die 1x2 Matrix bzw. die 2x1 Matrix ein, wenn die ursprüngliche Matrix 4 Werte besitzt und wie lese ich aus dieser Formel heraus, dass ich die Matrix(1x2-Matrix)mal(2x2-Matrix)mal(2X1-Matrix) rechnen soll?

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wie lese ich aus dieser Formel heraus, dass ich die Matrix(1x2-Matrix)mal(2x2-Matrix)mal(2X1-Matrix) rechnen soll?

Ich habe dir geschrieben, welche Form x^t hat. Sieh nach!

Das ist eine 1x2-Matrix. Danach kommt als nächster Faktor die Matrix A. Sieh sie dir an (zwei Zeilen und zwei Spalten, also 2x2-Matrix). Dann kommt als dritter Faktor der Vektor x, er ist eine 2x1-Matrix.

Was setze ich genau in die 1x2 Matrix bzw. die 2x1 Matrix ein,

Das habe ich dir geschrieben. Du kannst natürlich statt c und d auch a und b verwenden.

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ah vielen Dank, die Verwirrung hat sich gelegt. Aber ich frage mich trotzdem noch, was ich in der 1x2 Matrix bzw. 2x1 Matrix einsetzen soll. Darf ich mir das frei aussuchen. Also ist es egal, ob ich (1,1/2) oder (1/2,1) einsetze?

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Habe ich dir irgendwo geschrieben, dass du 1 oder 1/2 einsetzen sollst?

Du sollst "c" und "d" einsetzen.

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ah okay, danke du hast mir bereits alles relevante erklärt, ein paar Grundlagen müsste ich noch auffrischen. Danke nochmal!