Aloha :)
Schreibe den Funktionsterm als Bruch$$f(x)=\sqrt{\frac{1}{1+x^2}}\cdot\ln(1+x^2)=\frac{\overbrace{\ln(1+x^2)}^{=u}}{\underbrace{\sqrt{1+x^2}}_{=v}}$$und wende dann zum Ableiten die Quotientenregel an$$f'(x)=\frac{\overbrace{\frac{1}{1+x^2}\cdot2x}^{=u'}\cdot\overbrace{\sqrt{1+x^2}}^{=v}-\overbrace{\ln(1+x^2)}^{=u}\cdot\overbrace{\frac{1}{2\sqrt{1+x^2}}\cdot2x}^{=v'}}{\underbrace{1+x^2}_{=v^2}}$$$$\phantom{f'(x)}=\frac{\frac{2x}{\sqrt{1+x^2}}-\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\ln(1+x^2)}{1+x^2}=\frac{2x-x\ln(1+x^2)}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}=\frac{x\cdot(2-\ln(1+x^2))}{(1+x^2)^{3/2}}$$
Der Bruch wird an den Stellen Null, wo der Zähler Null wird. Das ist der Fall, wenn \(x=0\) ist, oder wenn die Klammer mit der Logarithmusfunktion Null wird:$$2-\ln(1+x^2)=0\implies\ln(1+x^2)=2\implies 1+x^2=e^2\implies x^2=e^2-1$$Wir finden also 3 Kandidaten für Extremwerte:$$x_1=0\quad;\quad x_2=\sqrt{e^2-1}\quad;\quad x_3=-\sqrt{e^2-1}$$
Du könntest jetzt noch die zweite Ableitung bilden, die Extremwert-Kandidaten einsetzen und das Vorzeichen der zweiten Ableitung prüfen. Das ist aber hier sehr fummelig. Daher schreibe ich nur einen kurzen Gedankengang zur Begründung der Extrema.
Die Funktion \(f(x)\) ist überall postitiv, außer bei \(x=0\), denn es ist \(f(0)=0\). Daher liegt bei \(x_1=0\) ein globales Minimum vor.
Die Grenzwerte von \(f(x)\) für \(x\to\pm\infty\) sind ebenfalls \(0\), sodass die Funktion nach außen abfällt. Daher müssen bei \(x_2=\sqrt{e^2-1}\) und bei \(x_3=-\sqrt{e^2-1}\) globale Maxima vorliegen.
~plot~ sqrt(1/(1+x^2))*ln(1+x^2) ; [[-5|5|0|1]] ~plot~
