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Aufgabe:

Sei (f_n) eine Funktionenfolge reellwertiger Funktionen auf [0, 1], die punktweise

gegen eine Grenzfunktion f : [0, 1] → R konvergiert. Zeigen oder widerlegen Sie die

folgenden Aussagen:

(a) Sind alle f_n monoton wachsend, so ist auch f monoton wachsend.


Problem/Ansatz:

Also ich bin erst einmal zunächst von ausgegangen dass das aufgrund von der interpretation einer punktweise konvergenten Funktionsreihe nicht funktionieren sollte, da die Punktweise Konvergenz von den Argumenten von X abhängt weshalb ich davon ausgehe , dass es eine funktion geben müsste, Für welche die grenzwert funktionen nicht monoton wachsend sein muss. ich habe das einmal mit verschiedenen beispielen gemacht jedoch war ich Bis jetzt erfolglos, Weshalb ich hier einmal um rat fragen wollte.

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Gute Frage, und auf den ersten Blick könnte man meinen, die Aussage könnte falsch sein. Sie stimmt aber unter näherer Betrachtung.


1. Option kurz und knackig: Nimm dir beliebige \(x_1\leq x_2\in [0,1]\). Jetzt hast du zwei konvergente Folgen, nämlich \(a_n:=f_n(x_1),b_n:=f_n(x_2)\). Diese Notation, um dich in der Anschauung etwas von der Funktion wegzubewegen, dass du nurnoch diese beiden Folgen betrachtest. Diese Folgen sind selbst nicht notwendigerweise monoton (das ist vielleicht das, was in der Anschauung für Verwirrung sorgen könnt), aber es gilt für jedes \(n\in\mathbb{N}:a_n\leq b_n\) aufgrund der Monotonie jedes \(f_n\). Nach dem Squeeze-Theorem gilt \(f(x_1)=\lim a_n\leq \lim b_n = f(x_2)\).

Benutzt eventuell einen Satz, den du noch nicht hattest, ist aber schön einleuchtend: Sobald du nurnoch über diese beiden Folgen nachdenkst, ist es klar, denn: Die kleinere Folge kann natürlich keinen höheren Grenzwert haben als die größere Folge.

2. Option, weniger Benutzen von Werkzeugen und mehr Schmutzigmachen der eigenen Hände: Angenommen, es gäbe eine punktweise konvergente Funktionenfolge \(f_n:[0,1]\to\mathbb{R}\) monotoner Funktionen, deren Grenzfunktion nicht monoton ist. Seien also \(x_1<x_2\), sodass \(f(x_1)>f(x_2)\), und sei \(\varepsilon:=\frac{f(x_1)-f(x_2)}{2}>0\). Durch punktweise Konvergenz bekommst du an der Stelle \(x_1\) ein \(N_1\in\mathbb{N}\), sodass für alle \(n\geq N_1\) gilt: \(f_n(x_1)>f(x_1)-\varepsilon\). Andersrum abgeschätzt an der Stelle \(x_2\) ein \(N_2\in\mathbb{N}\), sodass für alle \(n\geq N_2\) gilt: \(f_n(x_2)<f(x_2)+\varepsilon\). Für \(n=\max(N_1,N_2)\) gilt also durch Zusammensetzung dieser Ungleichungen: \(f_n(x_1)>f_n(x_2)\), was ein Widerspruch zur Monotonie aller \(f_n\) ist.

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Ich hab Ansatz Jetzt weitgehend verstanden Jedoch hab ich eine Frage zu dem Endergebnis: Also ich beziehe mich auf Option 2 und dort sagst du ja dass wir annehmen dass die Grenzfunktion nicht monoton ist also machen wir einen Widerspruchsbeweis Die Aussagen verstehe ich weitgehend Jedoch verstehe ich nicht ganz warum du dein Epsilon so gewählt hast Oder beziehungsweise wie man darauf kommt dass man das Epsilon so wählen muss. Mein Prof sagt da immer dass das mit Erfahrung kommt, aber es scheint mir so als würde ich da etwas übersehen jedes Mal. Und zum Schluss erhält sie ein Widerspruch Und dieser Widerspruch Ist der Widerspruch dass alle f_n Monoton sind also kann aufgrund der Voraussetzung die Grenzfunktion nur monoton sein?

Und danke für die Antwort. Du hast mir jetzt schon sehr viel geholfen

Genau, die Beweisstruktur ist genau so wie von dir wiedergegeben.

Zur Wahl des \(\varepsilon\): Ja, das ist größtenteils Erfahrung. Meine Intuition war in etwa so: Die Funktionswerte der Folgenglieder werden ja irgendwann in der Nähe der Grenzfunktionswerte sein. Wenn ich jetzt \(f(x_1)>f(x_2)\) habe, dann sollte hoffentlich für ein groß genügendes \(n\in\mathbb{N}\) gelten: \(f_n(x_1)>f_n(x_2)\), das wollen wir konstruieren.

Das \(\varepsilon\), das ich gewählt habe, ist mit Absicht genau der Halbe Abstand zwischen \(f(x_1)\) und \(f(x_2)\). Damit forciere ich folgendes: Das \(\varepsilon\) ist genau klein genug, dass die \(\varepsilon\)-Umgebung um \(f(x_1)\) strikt über der \(\varepsilon\)-Umgebung um \(f(x_2)\) liegt. Versuch dir das mal wirklich am Zahlenstrahl aufzumalen. Jetzt muss ich also nurnoch mein \(n\) groß genug wählen, dass \(f_n(x_1)\) und \(f_n(x_2)\) eben \(\varepsilon\)-nah an ihren Grenzwerten liegen und dann ist man schon fertig, denn der eine Wert liegt in der oberen Umgebung und der andere Wert in der unteren.

Hi nochmal ich ....

Hab noch eine Frage zu "gilt also durch Zusammensetzung dieser Ungleichungen: \(f_n(x_1)>f_n(x_2)\)," wie werden die Gleichungen denn zusammengesetzt? Es ist wahrscheinlich so simpel dass ich es übersehe.

Hi, ich melde mich etwas verspätet nochmal.

Bemerke, dass \(f(x_2)+2\varepsilon=f(x_1)\). Also \(f(x_2)+\varepsilon=f(x_1)-\varepsilon\).

Die Zusammensetzung ist \(f_n(x_2)<f(x_2)+\varepsilon=f(x_1)-\varepsilon<f_n(x_1)\).

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