Warum ist die Grenzfunktion einer Funktionenfolge stetig?

Question

Sind \(X\) und \(Y\) metrische Räume und ist \((f_n)_n\) eine Folge von stetigen Abbildungen \(f_n : X\to Y\), die gleichmäßig gegen die Abbildung \(f : X\to Y\) konvergiert. Warum ist dann die Grenzfunktion \(f\) ebenfalls wieder stetig?

Antwort:
Sei \(a\in X\). Mit der Dreiecksungleichung bekommt man die für alle \(x\in X\) und \(n\in \mathbb{N}\) gültige Abschätzung:$$d(f(a),f(x))\leq d(f(a),f_n(a))+d(f_n(a),f_n(x))+d(f_n(x),f(x))$$ Ich verstehe die Abschätzung nicht wirklich, kann das jemand nochmal weiter ausführen?

Answer 1

\( d(f(a),f(x))\\\leq d(f(a),f_n(x))+d(f_n(x),f(x)) \\ \leq d(f(a),f_n(a)) +d(f_n(a),f_n(x))+d(f_n(x),f(x)) \)

Es wurde zwei mal durch die Dreiecksungleichung jeweils auf den ersten Term abgeschätzt